nelle quali si riconoscono le velocità areolari, in senso scalare, delle proiezioni ortogonali del punto P rispettivamente sui piani y z,z x,x y.
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Inoltre se, rispetto ad una data terna di assi, sono X, Y, Z le componenti di v, quelle di a v sono a X, a Y, a Z.
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Se quest’equazione ha due radici distinte z1,z2 cioè se sì ottengono così le due soluzioni particolari e e z 1 t, e z 2 t; talché l’integrale
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Se h 2 > h, h > 0, k > 0 (ed è questo il caso più interessante per le sue interpretazioni fisiche) le due radici z 1, z 2 dalla (50) sono entrambe
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mentre il moto uniforme di P z, sull’asse z, in quanto P z per t = 0 deve trovarsi in O, ammetterà l’equazione
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dove andrà preso il segno + o -, secondoché, rispetto al senso positivo fissato sull’asse z, il dato moto rettilineo uniforme di P z risulta
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1 z ed Oxy z; e precisamente il moto di P rispetto ad Ox 1 y 1 z si potrà risguardare come un moto assoluto, generato dal moto di trascinamento della
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Se poi riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P, le
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Per dimostrarla basta assumere r come asse delle z e osservare che l'ultima delle (27), la quale, se P appartiene a r, si riduce alla M z = xY-yX
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Si indichino con M x , My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n
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φ (x, y, z) 0.
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x≥0, y≥0, z≥0
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Perciò il trinomio M x X+M y Y+M z Z vien chiamato trinomio invariante. Esso verrà indicato brevemente colla lettera T.
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x = x(t), y = y(t), z = z(t)
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X = X (x,y,z), Y = Y (x,y,z), Z = Z (x,y,z).
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ossia, indicando con X, Y, Z le componenti di F rispetto a certi tre assi e con x, y, z le coordinate della posizione di P,
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X = X (x,y,z|t), Y = Y (x,y,z|t), Z = Z (x,y,z|t).
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X = -y, Y = x, Z = 0,
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U = (x, y, z) = U = (x 0, y 0, z 0).
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applicazione da un certo piano fisso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questo piano come piano di riferimento z = 0, le componenti della forza
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F x dP = φ(z) dz.
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È facile trasportare l'esempio allo spazio Oxyz, considerando per ogni punto P, di coordinate x, y, z, la sua proiezione Q, di coordinate 0, 0, z
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P = P(t) ossia x = x(t), y = y(t), z = z(t),
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(7) L P 1 P 2 = U (x 2, y 2, z 2) - U (x 1, y 1, z 1),
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ove con x 1, y 1, z 1 e x 2, y 2, z 2 si designano le coordinate di P 1 e P 2 rispettivamente.
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(8) Lp 0 P = (x, y, z);
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F x dP = U (x + dx, y + dy, z + dz) - U (x, y, z).
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Segue come conseguenza immediata il Teorema: «Se ξ, η, ζ sono tre monomi indipendenti in x, y, z, a qualunque monomio xa y b z c si può attribuire la
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se x i, y i, z i designano le coordinate dei punti P i del sistema e x 0, y 0, z 0 quelle del baricentro G.
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La dimostrazione è immediata. Basta assumere il piano del sistema come piano z = 0, l’asse perpendicolare come asse delle z, e gli altri due assi
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tra piani paralleli al piano z = 0. La funzione z 2 sotto il segno rimane costante sopra ciascun disco e il contributo, recato all’integrale triplo dal
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ed esprimendo Ί mediante i raggi R 1 = z 1tgα, R 2 = z 2tgα e l’altezza h = z 2 - z 1 del tronco si ottiene
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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Quanto a s3 = Σi m i z 2 i (osservando che la z di un generico elemento dσ spetta a tutta la porzione, generata dalla rotazione dell’elemento stesso
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Di tutto ciò si può naturalmente avere la riprova formale, introducendo le coordinate x, y, z di P e x 1, y 1, z 1 di Q, con che:
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6. Per ogni sistema di valori di x, y, z, che non dà luogo a singolarità (escluse quindi nel caso nostro le sole terne x i, y i, z i) valgono le
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In base a tale corrispondenza biunivoca tra i vettori e le terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi le coordinate del vettore v rispetto alla
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Inversamente, se si prefissano ad arbitrio tre numeri (relativi) X, Y, Z , questi individuano, in base alle (2), (3), un ben determinato vettore, a
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Siano z = s e z = s + h i paralleli estremi; x = φ (z) l’equazione della curva meridiana.
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, esso non appartiene esattamente al piano z = 0, ma ne dista (verso il basso) di una piccola quantità z i. Questa z i, si potrà anche risguardare come
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z = λx + μy + v
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Γ z = Bk.
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(47') Γ z = - B (k - k 0),
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Quando le z i si incrementano di d z i, la z 0 subisce un incremento (spostamento verticale del baricentro) definito da
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Ove si assuma l’asse di rotazione per asse delle z e si designino con x, y, z le coordinate di P, le componenti del vettore χ sono, a norma della (2),
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essendo ω la velocità angolare, e B' e C' i prodotti di inerzia Σi m i x i z i , Σi m i y i z i.
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Analogamente ogni operazione analitica f(z) che applicata ad un numero complesso z dà per risultato un numero complesso z 1, si può interpretare come
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Mentre un punto P si muove nello spazio secondo le equazioni (2), le sue proiezioni ortogonali P x, P y, P z sui tre assi si muovono ciascuna sul
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e il moto di P è univocamente determinato dal moto di P 1 sul piano z = 0 e dal simultaneo moto di P z sull’asse z, giacché, istante per istante, la
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Se v x, v y, v z, sono le componenti del vettore v, le coordinate x, y, z, del punto mobile P debbono variare in funzione del tempo in modo da
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Accademia della crusca
