Caso particolare assai notevole è quello in cui P = 1, cosicchè i primi due termini formano il laplaciano .
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Se si osserva che ciascuno dei tre primi termini dipende da una sola delle coordinate, si riconosce che, affinchè l'equazione sia soddisfatta
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e con pari facilità si troverebbero i termini successivi.
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dall'altra cambiando il segno a tutti i termini dispari: esse sono (scrivendone solo i primi due termini, e rappresentando coi puntini i successivi fino al k
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ed i termini spettrali risultano
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produce allora l'effetto Zeeman. ), e perciò i livelli energetici, e quindi i termini spettroscopici, costituiranno una serie a due indici anzichè ad uno
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(termini con l più elevato raramente intervengono). Così p. es. il termine per cui n = 3 e l = 0 si indica con 3s anzichè con , e si parla di termini
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Graficamente, si usa rappresentare i livelli corrispondenti ai termini su diverse colonne, una per la serie s, una per la p, ecc., come si vede nella
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Lo sviluppo d Fourier si riduce dunque ai soli due termini di frequenza , e cioè mancano tutti i termini in cui l'indice non è uguale a ± 1. Saranno
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fondamentale. Difatti, riferendosi allo schema dei termini rappresentato in fig. 45, essa esprime che sono possibili solo i salti quantici tra due colonne
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sottrazione. Si troveranno evidentemente due serie contenenti tutti termini del tipo
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Dunque lo spezzarsi dell'hamiltoniana nella somma di N termini ciascuno dei quali dipende dalle coordinate di una sola particella porta con sè la
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Sostituendo in (93) si vede che i termini con le derivate miste si elidono, e analogamente per le altre coordinate, e resta
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(1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p termini separati.
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Nell'ultimo termine si può sostituire con , (a meno di termini in ): con ciò l'equazione viene a coincidere con la (119') ed è quindi verificata.
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Per avere tutti i termini dello sviluppo (171), manca ancora la conoscenza di : questa si determina imponendo a la condizione di normalizzazione, che
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imperturbata, ma differisce da essa (e dalle altre ) per termini che non si possono riguardare come piccoli: ciò si può prevedere intuitivamente dal
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Nella (189), la rappresenta il termine principale: come si vede, l'autofunzione imperturbata si approssima (a meno di termini del primo ordine) non a
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dallo stato imperturbato, ossia che differisca poco da e precisamente per termini del primo ordine (questa approssimazione sarà dunque valida per un tempo
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Sostituendo nei primi due termini per l'espressione ricavata dalla prima delle (235), e ricordando le (234), si riconosce che tutto il primo membro è
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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successione di termini. In particolare in questa formula rientrano i termini balmeriani (per i quali è a= 0):
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Uno stesso elemento presenta in generale diverse successioni di termini, caratterizzate ciascuna da un valore della costante a, e le frequenze di una
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In tutte queste formule — come in quella di Balmer — la frequenza di una riga si presenta come differenza di due termini, di cui il primo resta
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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Per molti elementi però i termini hanno una forma più complessa che non quella di Rydberg: un secondo tipo p. es. è rappresentato dalla formula detta
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riconducendo numerose frequenze della stessa sostanza a dipendere da un numero assai più limitato di termini. Si può quindi dire che il primo passo
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È evidente che, poichè da un numero relativamente piccolo di termini si ricava, per differenza, un numero assai più rilevante di frequenze, esistono
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cosicchè i due termini in questione si riducono a e tutto il gruppo dei sei termini con dà:
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Quanto ai tre termini in cui , essi danno, tenendo presenti le (234),
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Per raccogliere i primi due termini in un'unica sommatoria, conviene definire gli operatori
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Ciò non significa che i termini dell'ortoelio siano tutti tripli, ma che essi sono tripli ad eccezione dei termini S che sono sempre semplici (si
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di eccitazione E2-E1, E3-E1 ecc.: il confronto dei valori trovati con quelli ricavati dai termini spettrali costituisce una verifica delle ipotesi
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Zeeman: perciò i termini dipendono normalmente solo dai primi due.
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Si verifica immediatamente che l'insieme dei due primi termini è la derivata esatta di P (), cosicchè, se si moltiplica tutta l'equazione per dx e si
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donde, con una quadratura, si ottiene l’espressione di ζ' in termini di ζ, eliminando fra tale espressione e la (15), si perviene alla cercata
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Le cose vanno insomma come se U fosse somma di un numero finito di termini, nel qual caso vale la regola elementare che la derivata della somma non è
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Dacché ognuno di questi contributi elementari è nullo (a meno di termini d’ordine superiore a dσ), l’integrale (limite della somma geometrica testé
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e si può quindi scrivere, mettendo in evidenza i termini dei primi due ordini,
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che rispetto agli assi principali di inerzia assume la forma (21''). In ultima analisi, per un’opportuna scelta degli assi e trascurando i termini di
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31. Riassumendo, il potenziale U dell’attrazione di un corpo qualsiasi sopra un punto lontano P, a meno di termini di terz’ordine (nel rapporto
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A titolo di apprezzamento, si possono sostituire i valori esatti degli elementi di confronto coi primi termini dei rispettivi sviluppi corrispondenti
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Nel caso attuale, la natura della questione suggerisce ovviamente i termini di confronto; essi sarebbero: per U* il valore esatto U del potenziale
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notando che differiscono dall’unità per termini che sono almeno di prim’ordine rispetto ad ε.
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Infatti, cominciamo col richiamare in termini precisi le due ipotesi, ammesse sinora nella impostazione dei problemi di equilibrio:
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termini del second’ordine, poniamo
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Si termini la discussione, assegnando le reazioni d’appoggio richieste dall’equilibrio, assicurandosi che sono anch’esse effettivamente possibili
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Ad ogni modo rimane, in valore assoluto, inferiore a cosichè a e si possono sostituire i primi quattro termini dello sviluppo in serie, trascurando
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seguenti termini precisi.
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Accademia della crusca
