(1) Con la parola «treno» designamo una successione di onde illimitata nello spazio (da [simbolo eliminato] ) a [simbolo eliminato] ) e, quindi, nel
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spazio) e sviluppandola in integrale di Fourier, si troverebbe la relazione
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Per rendere la cosa più espressiva, conviene introdurre uno spazio rappresentativo degli impulsi, nel quale ogni vettore p è rappresentato da un
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la quale esprime che: quanto più esattamente è determinato l'istante del passaggio di un fotone per un determinato punto dello spazio, tanto più
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Ricordiamo ora il teorema dimostrato al § 15, secondo il quale, più il pacchetto d'onde nello spazio x, y, z è ristretto, più devono differire tra
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Rileviamo fin d'ora che l'integrale di P esteso a tutto lo spazio esprime la probabilità totale che la particella venga trovata in un punto qualsiasi
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(1) In certi casi le condizioni del problema impongono alla particella di restare entro un certo spazio S: allora evidentemente si può integrare
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lo spazio: inoltre, perchè si possa applicare la condizione di normalizzazione (132), occorrerà che l'integrale di , esteso a tutto lo spazio (1) In
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densità media delle particelle sarà . Perciò in un qualsiasi spazio chiuso S ve ne saranno in media
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espressione del principio di indeterminazione per una particella nello spazio.
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È noto che conviene spesso designare un insieme di N numeri come un punto P in uno spazio a N dimensioni (riferito ad assi cartesiani numerati da 1
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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Vogliamo ora estendere queste considerazioni introducendo uno spazio con infinite dimensioni. Consideriamo perciò, invece degli N valori dell'indice
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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Se poi è dato un certo numero n di vettori nello spazio funzionale , tutti i vettori ottenibili da essi mediante una combinazione lineare a
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quelle funzioni f, per le quali l'integrale (3) è convergente (funzioni a quadrato sommabile), cioè solo quei punti dello spazio funzionale per i quali la
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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che essi definiscono nello spazio hilbertiano un sistema di assi coordinati ortogonali (uno per ogni valore di n), allo stesso modo come una terna di
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acquista lo stesso significato che ha nello spazio ordinario la nota relazione
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Siamo stati così condotti a considerare, nello spazio hilbertiano, oltre al primitivo sistema di assi corrispondenti agli infiniti valori di x (che
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evidentemente gli stessi coefficienti : perciò è opportuno considerare due funzioni siffatte come rappresentate dallo stesso vettore (o punto) dello spazio
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Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che un operatore definisce una corrispondenza tra punti (o tra vettori) dello spazio funzionale
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Nello spazio funzionale un o. l. stabilisce una corrispondenza tra vettori, che è la naturale generalizzazione di una omografia vettoriale
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È facile dimostrare che, se è un o. l. che opera tra vettori dello spazio hilbertiano, le componenti del vettore (che indicheremo con F) sono
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Dato un o. l. (hermitiano) , proponiamoci la seguente questione: esistono vettori (dello spazio hilbertiano) che vengano dall'operatore mutati di
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Perciò, considerando lo spazio hilbertiano delle funzioni di x e y, diremo che in questo spazio gli assi principali dell'o. l. incompleto non sono
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(componente di f sull'asse ) e analogamente tutte le formule della teoria dei vettori dello spazio hilbertiano verranno modificate nel senso di
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Vogliamo ora ricapitolare brevemente il procedimento della meccanica ondulatoria di Schrödinger, enunciandolo col linguaggio geometrico dello spazio
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(1) Per semplicità useremo la stessa lettera per indicare una funzione e il vettore corrispondente nello spazio hilbertiano (anzichè usare per
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Si noti che, mentre nel caso di una sola particella la rappresenta delle onde, fittizie, ma nello spazio ordinario, nel caso di N particelle non si
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dove, al solito, , e l'integrale si intende esteso a tutto lo spazio delle q. Come si vede, a un determinato stato dei sistemi corrisponde un
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Assumendo come sistema di riferimento nello spazio hilbertiano quello definito dalle , cioè riferendoci allo «schema », v. § 33, l'operatore
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Di qui si ricavano le c, moltiplicando i due membri per e integrando su tutto lo spazio delle q: si ottiene così
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(2) Tale ipotesi si può del resto giustificare con la considerazione che nessun punto dello spazio-tempo deve risultare privilegiato.
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sarebbe prodotto da una magnetizzazione dello spazio rappresentata dal vettore I, definito dalle (280). In altre parole, la «nuvola» di densità elettrica
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e considerando come le quattro componenti di un «quadrivettore» nello spazio delle variabili (spazio di Minkowsky): è noto infatti dalla teoria della
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nello spazio di Minkowsky, espressa dalle formule:
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, spazio delle fasi uno spazio di 2 f dimensioni, avente le 2 f variabili di stato (2) come coordinate cartesiane ortogonali. Esiste evidentemente una
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Come lo stato di un sistema varia col tempo per effetto del movimento del sistema, così il punto che rappresenta lo stato nello spazio delle fasi si
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Siccome tutte le celle in cui abbiamo diviso lo spazio delle fasi hanno egual volume, i numeri N s sono proporzionali alla densità dei punti
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molecole è un sistema meccanico, il cui stato si potrà rappresentare come un punto in uno spazio delle fasi della molecola. Pensiamo di segnare in questo
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a) Per ogni punto dello spazio delle fasi passa una e una sola traiettoria.
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Tra le proprietà dello spazio delle fasi che hanno maggiore importanza per le applicazioni statistiche dobbiamo ancora citare il teorema di Liouville
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(e cioè i cui punti rappresentativi cadono nell'elemento d'ipervolume dello spazio delle fasi dq 1 dq 2 ... dq f dp dp 2 ... dp f) è dato da:
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su quella che abbiamo fin qui illustrato. Invece di rappresentare individualmente lo stato di ciascuna molecola come un punto nello spazio delle fasi
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dove l'integrale si deve estendere a tutto lo spazio delle fasi.
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Il volume dello spazio delle fasi del primo sistema, corrispondente a stati di energia compresa tra E 1 ed E 1 + dE 1 si potrà scrivere
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Questo equivale, infatti, a dire che è fisicamente impossibile determinare lo stato di un sistema come un punto nello spazio delle fasi; il margine
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In questa considerazione, basata sulla meccanica classica, il valore di π, data la legge di densità della distribuzione nello spazio delle fasi, non
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Secondo quanto abbiamo esposto, alle varie celle, in cui si divide lo spazio delle fasi nella meccanica classica, corrispondono, nel caso dei sistemi
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Accademia della crusca
