abitualmente adottata (equazione di Schrödinger):
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Con queste condizioni, il problema dell'integrazione dell'equazione di Schrödinger rientra nella categoria di quelli studiati nell'introduzione
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autofunzioni dell'equazione di Schrödinger (131') (che formano come si sa, un sistema ortogonale completo): sarà cioè
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e la soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
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Essa poi soddisfa l'equazione di Schrödinger
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che chiameremo equazione temporale di Schrödinger.
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Per cominciare a studiare l'equazione di Schrödinger dai casi più semplici, tratteremo in questo capitolo alcuni problemi «unidimensionali», con che
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che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
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Applichiamo l'equazione unidimensionale di Schrödinger al caso di una particella non soggetta a forze, e libera di muoversi da a .
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L'equazione di Schrödinger sarà, nella regione I, ancora la (148), mentre nella regione II avrà la stessa forma salvo che in luogo di k vi figurerà
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Mostriamo ora un primo esempio di quantizzazione col metodo di Schrödinger, considerando una particella che possa scorrere (senza forze) su un tratto
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L'equazione di Schrödinger sarà ancora la (148), ma con la condizione che fuori del segmento AB la si annulli (essendo per ipotesi nulla la
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e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
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L'equazione di Schrodinger (127), esplicitando l'operatore in coordinate polari, si scrive
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, mediante la separazione delle variabili. Scriviamo dunque l'equazione unidimensionale di Schrödinger per uno stato di energia E (146, § 34) nella forma
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degli autovalori dell'equazione di Schrödinger. Da questo metodo trarremo una regola di quantizzazione che sostanzialmente coincide con quella postulata
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(estendendo le considerazioni del § 51 mediante la separazione delle variabili) come conseguenze di prima approssimazione dell'equazione di Schrödinger e delle
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Anche questo risultato coincide (casualmente) in modo perfetto con quello fornito dall'integrazione rigorosa dell'equazione di Schrödinger
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Una correzione del tutto analoga si può fare nella teoria di Schrödinger e conduce allo stesso risultato (v. § 21, p. III),
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di Schrödinger corrispondente agli elettroni del nocciolo è tale che , cioè la densità media di carica elettrica, è indipendente dal tempo ed a
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Un altro esempio notevole è l'operatore che figura nel primo membro dell'equazione di Schrödinger (131 ) p. II, la quale si può scrivere
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variano col tempo. P. es., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p
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Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
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Vogliamo ora ricapitolare brevemente il procedimento della meccanica ondulatoria di Schrödinger, enunciandolo col linguaggio geometrico dello spazio
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chiamata hamiltoniana, diremo che l'equazione di Schrödinger si ottiene trasformando l'hamiltoniana in un operatore (che chiameremo bramiltoniano) mediante
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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cioè l'ordinaria equazione di Schrödinger relativa alla particella k-esima. Si può dunque prendere come del sistema il prodotto delle delle singole
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(1) Questo risultato autorizza ad applicare l'equazione di Schrödinger al moto d'insieme di un sistema complesso come un atomo o una molecola. Le
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dall'equazione temporale di Schrödinger, fino a che non interviene una nuova osservazione a perturbare il sistema.
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Sviluppando, e sostituendo per la derivata di il valore dato dall'equazione di Schrödinger (87), si ha
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nostro punto di partenza per stabilire l'equazione di Schrödinger.
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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questo schema evidentemente le direzioni degli assi di riferimento sano date dalle autofunzioni della equazione di SCHRÖDINGER.
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svolti in questo paragrafo. Nel caso dell'oscillatore, dunque, il metodo delle matrici presenta alcuni vantaggi sul metodo di Schrödinger.
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che si riferiscono al problema imperturbato): allora l'equazione di Schrödinger per lo stato stazionario i-esimo del sistema imperturbato sarà
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L'equazione di Schrödinger relativa al sistema perturbato sarà, per lo stato stazionario n-esimo (chiamando (1) Si dovrebbe scrivere , e, più oltre
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Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
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Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
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Schrödinger nella stessa forma usata fin qui. L'autofunzione perturbata soddisferà dunque l'equazione
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e analogamente per la (11'). Se il campo magnetico è nullo o trascurabile, ciascuna delle due soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger: perciò
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con . La prima è l' ordinaria equazione di Schrödinger: dunque rappresenta uno dei livelli energetici della meccanica ondulatoria ordinaria, e è una
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altre velocità in giuoco, ci riconduce alla teoria di Schrödinger: troveremo però che la che figura nella (255) differisce dalla di Schrödinger (che
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seguente equazione, che dovrebbe rappresentare l'estensione relativistica dell'equazione di Schrödinger
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L'idea fondamentale che ha condotto alla teoria diDiracè la seguente: postuliamo, in analogia alla teoria di Schrödinger e a quella di Pauli, che la
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Ricordiamo inoltre che la soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger (v. pag. 395) e che questa, per uno stato stazionario di energia E, ammette
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Poichè, come si è visto al § 46, p. II, l'equazione di Schrödinger corrispondente a questo problema ammette soluzioni del tipo , dove è una funzione
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ora considerato a parte: similmente sta per le tre coordinate di posizione . Il fattore soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Su tali principi, SCHRÖDINGER potè calcolare lo spettro dell'idrogeno, gli effetti Zeeman e Stark, l'oscillatore, ecc., e ottenne sempre risultati
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Accademia della crusca
