(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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L'integrale rispetto a k si può ottenere osservando che la (67), per la (58), si può scrivere
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ecc. Alla (82) si può applicare, rispetto a ciascuna delle tre variabili, il ragionamento del § 13, e si trovano le disuguaglianze
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tenendo conto di quest'ultima, la (127) si può scrivere nella forma seguente, che non contiene più derivate rispetto al tempo, e che è quella
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di trovare le componenti dell'impulso comprese tra e . La funzione ha dunque, rispetto alle misure di impulso, lo stesso significato che ha la
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Così, affinchè sia anche normalizzata (rispetto alla variabile x), basterà prendere per essa l'espressione
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significato fisico: il modulo p del momento angolare dell'elettrone (momento dell'impulso) rispetto al nucleo è , ed il momento dell'impulso
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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Quest'ultimo ha il significato meccanico di «momento dell'impulso rispetto all'asse polare», ossia proiezione sull'asse polare del momento angolare p
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c) Quantizzazione spaziale. - Le due ultime condizioni di Sommerfeld determinano l'inclinazione del piano dell'orbita rispetto all'asse polare, ossia
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semplice adottando come coordinate lagrangiane del sistema le coordinate polari del nucleo rispetto al baricentro (), e le coordinate polari
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Si giunge alla stessa conclusione ricordando dalla teoria della relatività che, se rispetto ad un certo sistema di riferimento, che diremo fisso
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(1) In questo ordine di considerazioni, uno scalare significa una quantità costante (rispetto a ).
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Vogliamo ora cercare che relazione intercede tra le componenti del vettore f rispetto ai nuovi e agli antichi assi, cioè tra le e le . Cominciamo
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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dalle componenti di un vettore rispetto a un sistema di riferimento, alle componenti dello stesso vettore rispetto a un altro sistema di riferimento. Si
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funzioni . Generalmente converrà supporre queste ortogonali e normalizzate rispetto alle y, e allora (supposte le normalizzate rispetto alle x) le
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Sia ora dato un o. l. mediante la matrice che lo rappresenta rispetto ad assi generici : vogliamo trovare la matrice (diagonale) che rappresenta
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rappresenta l'o. l. rispetto a questi assi: designeremo questa matrice con , mentre seguiteremo a indicare con la matrice che rappresenta rispetto agli assi
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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L'integrale rispetto a è uguale a 1 se è interno all'intervallino , altrimenti è nullo: perciò, detto il tratto comune (eventualmente nullo) ai due
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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(1) Si verifica immediatamente che integrando questa P rispetto a tutte le variabili meno , per tutto il loro campo di variabilità, si ottiene
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e le tre coordinate dell'elettrone rispetto al nucleo
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e, indicando con l'operatore ottenuto dall' espressione di con l'operazione formale di derivazione rispetto a t (quindi se non contiene
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Come applicazione dei §§ precedenti, consideriamo le tre osservabili , momenti dell'impulso (o momenti angolari) di una particella rispetto agli assi
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Consideriamo ora l'osservabile M, modulo del momento angolare della particella rispetto all'origine. Classicamente si ha : perciò assumeremo come
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(1) Più precisamente supponiamo tutte le piccole del primo ordine rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e le sono piccole del primo
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ordine rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e le sono piccole del primo ordine (rispetto a e ad 1 rispettivamente). . Se allora nella
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con che le risultano quantità piccole rispetto alle E (del primo ordine). Si noti che, nel caso della degenerazione completa, le sono tutte nulle.
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L'operatore hamiltoniano perturbato sarà invece rappresentato rispetto agli stessi assi da un, matrice non diagonale (in cui però gli elementi non
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Come applicazione, supponiamo che un'osservazione dello spin rispetto a una certa direzione n, di coseni , abbia dato il risultato + 1, e supponiamo
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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Nei casi ordinari (corrispondenti cioè nel modello classico a particelle dotate di velocità piccole rispetto a c, sì da potersi usare la meccanica
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da cui si vede che le sono ordinariamente piccole rispetto alle (ossia, sono piccole rispetto a ). Sostituendo nella (277) questa espressione di si
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in prima approssimazione), consideriamo il caso in cui la forza che agisce sull'elettrone ha momento nullo rispetto all'asse z, come avviene p. es
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cosicchè, sostituendo nella precedente e risolvendo rispetto ad r, si ricava che il raggio dell'orbita n-esima, che si suol indicare con an, è
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In questo caso sono piccole rispetto a B (supposto ); e, ritenendole trascurabili, la soluzione I corrisponde allo spin parallelo all'asse z, la II
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Per interpretare i due tipi di soluzione così trovati, ricordiamo (v. § 53) che il momento angolare totale rispetto all'asse z corrisponde
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Sostituendo per A e B le espressioni (345) e risolvendo rispetto a W si trova
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Si noti che non sono costanti come cs e , ma variano periodicamente e lentamente: la loro frequenza è infatti piccola, rispetto alla frequenza del
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piccole rispetto a c)
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Conviene aggiungere che le considerazioni precedenti valgono se la velocità vè piccola rispetto a c: altrimenti la legge (37) della forza viva
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Invece che per mezzo delle coordinate generali e delle loro derivate rispetto al tempo, rappresenteremo lo stato del sistema per mezzo delle 2 f
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Tenendo conto di (20), e del fatto che w si piò considerare infinitesimo rispetto ad E, troviamo:
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(l'espressione precedente, integrata rispetto a v da 0 a ∞, diverge; ciò che indica appunto che il numero totale dei gradi di libertà è ∞).
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Accademia della crusca
