(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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Queste condizioni si possono anche scrivere
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formula che si identifica con la (53), purchè si ponga . Con queste sostituzioni la (54) ci fornisce allora per A la seguente espressione:
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queste si possono estendere molte delle considerazioni fatte per il caso di una variabile sola. Accenneremo brevemente a talune di queste estensioni
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Da queste e dalle (96) si ha, per moltiplicazione
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(che compendiano le equazioni di Maxwell e di Laplace per E ed H); da queste si ricava subito che ciascuna componente complessa di soddisfa
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e qualunque altra soluzione è una combinazione lineare di queste.
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Sostituendo queste espressioni nella (197) si ha la relazione tra e :
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La prima di queste dà
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dove è una funzione olomorfa che non si annulla per 1 — x = O : di queste due forme, quella con esponente negativo ha un polo per e quindi va
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Queste funzioni si chiamano «funzioni associate di Legendre» esse sono, naturalmente, ortogonali nell'intervallo (— l, + 1), ma non sono normalizzate
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Tali funzioni sono particolari funzioni sferiche (di superficie) di ordine l. Di queste, quella corrispondente a si riduce a
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Queste condizioni conducono (quando sia specificato il potenziale U(r)) a determinare per la E una successione di autovalori (in generale, parte
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L'interesse di queste funzioni sta nel fatto che esse sono soluzioni di una notevole equazione differenziale, come può vedersi nel modo seguente
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Queste due espressioni rappresentano approssimativamente due diversi integrali della (294).
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Queste denominazioni non devono far pensare che l'ipotesi si riferisca soltanto alla luce propriamente detta: essa abbraccia ogni tipo di radiazione
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cui corrispondono altrettante inclinazioni del piano dell'orbita. L'esistenza di queste inclinazioni discrete si designa spesso con l'espressione
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dando a tutti i valori interi (positivi o negativi) che non rendono negativo il secondo membro. L' intensità di ciascuna di queste componenti
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Eliminando v tra queste due equazioni si trova
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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A queste matrici continue si estendono tutte le definizioni già date: p. es. il prodotto di due matrici è la matrice
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La dipendenza dal tempo di queste si ottiene confrontando la (88) con la (87), il che dà
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L'aspetto paradossale di queste equazioni scompare quando si tenga presente che esse si riferiscono non alle grandezze fisiche e ma ai loro operatori
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(indicando con Fi le componenti della forza). Se tra queste si elimina pi si ha
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Secondo quanto si è detto a proposito della (118) queste relazioni tra operatori traducono le seguenti relazioni tra i valori medi delle
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e similmente per e . Notiamo innanzi tutto che queste tre osservabili sono incompatibili due a due: difatti si ha p. es.
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dove ecc. sono dati dalla (124) e dalle analoghe. Sostituendovi queste espressioni, e tenendo conto delle (106), si trova con facili calcoli
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la seconda, tenendo conto di queste, delle (136) e della (135), dà l'equazione della dinamica
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e queste si traducono nelle seguenti relazioni tra gli elementi delle matrici
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Da queste formule, mediante la (158), o la (158'), si ricavano le espressioni degli elementi non nulli della matrice , che risultano
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Proseguendo in modo analogo si calcolerebbero le autofunzioni di seconda approssimazione, e mediante queste la terza approssimazione di , e così via
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Queste due equazioni omogenee (il cui determinante è nullo in virtù di danno:
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le quali sono lineari e omogenee in e . Poichè queste non sono entrambe nulle, dovrà essere
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Sostituendo queste derivate nella espressione di si ha
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Queste formule, introducendo il vettore I di componenti
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Queste quattro equazioni lineari omogenee nelle quattro costanti , hanno soluzione non nulla solo se
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formando, con queste espressioni di e , le mediante la formula (307), si vede che gli esponenti si elidono e la funzione arbitraria scompare.
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A ciascuna di queste orbite privilegiate corrisponde naturalmente un' energia
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Con l'aiuto di queste formule si verifica senza difficoltà che, se si prendono le quattro della forma:
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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Sostituendo queste espressioni nelle (346) e annullando intanto i coefficienti di , si trova
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e, annullando il determinante dei coefficienti di queste due equazioni lineari in , si trova per l'equazione
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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Allora e si possono esprimere mediante queste nuove combinazioni, e divengono:
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i coefficienti c contenuti in queste formule restando arbitrari, salvo le condizioni di normalizzazione. Tenendo conto della (392') e delle (396), e
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Ann. d. Phys., 79, 361, 489, 734 (1926). Queste ed altre memorie fondamentali sono raccolte in un volume tradotto anche in francese (v. bibl. n. 17 e
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(1) Indipendentemente da queste, De Broglie aveva dato fin da principio una dimostrazione teorica della (26) basata su considerazioni relativistiche
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Per una descrizione di queste esperienze, si vedano i nn. 27, 28 e 31 della Bibliografia.
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La forma di queste traiettorie, che si distendono sulle superficie H = cost., è in generale assai complicata; essa ha notevole importanza nei
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molecole; queste deviazioni sono tanto grandi da mascherare l'effetto puramente statistico.
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Accademia della crusca
