coefficienti P, Q diventa infinito, ma tuttavia di ordine non superiore al 1° per P, e al 2° per Q, cosicchè l'equazione si possa scrivere
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ordine superiore al 1°, o Q di ordine superiore al 2°, si dice che la singolarità è non fuchsiana ovvero essenziale.
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dove Pe Q sono serie di potenze intere e positive di .
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coefficiente P sia infinitesimo almeno del 1 ordine, ed il coefficiente Q almeno del 2°, cioè che essi possano scriversi (per x abbastanza grande)
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darà sulla lastra non tutta la figura di diffrazione, ma solo un punto Q' di essa: la posizione del punto P', (dove si formerebbe il centro della figura
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punti) a cui corrispondono altrettanti momenti (1) Come si sa dalla meccanica, la forza viva T del sistema è una funzione delle q e delle e si chiamano
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(1) Come si sa dalla meccanica, la forza viva T del sistema è una funzione delle q e delle e si chiamano momenti le quantità
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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(2) Se qualcuna delle q rappresenta un angolo tale che aumentandolo di si ritrova la stessa configurazione del sistema (p. es., la in un sistema di
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. Trovata questa, le equazioni del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti tra le q, le p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente le q e le p
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forze conservative. Si esprime l'energia totale (somma della forza viva T e dell'energia potenziale U) in funzione delle q e delle p (la funzione H (q
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potenziale U) in funzione delle q e delle p (la funzione H (q, p) così definita si chiama l' hamiltoniana del sistema, e contiene in sè tutto ciò che occorre
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essa viene percorsa, e le (307) determinano i momenti, e quindi le velocità (in funzione delle q e delle ). La costante ha il significato fisico di
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sistema delle q' si possa eseguire la separazione delle variabili, il che implica (se il sistema non è degenere) che la trasformazione che conduce
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Poichè un sistema meccanico può riferirsi a infiniti sistemi di coordinate lagrangiane, sorge la questione: se invece del sistema delle q, si adotta
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variazione del suo «momento elettrico» il quale è funzione delle coordinate lagrangiane q, che sono funzioni periodiche del tempo, ciascuna con la frequenza
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, o un impulso, o una qualunque funzione g (q, p) delle coordinate e degli impulsi, come p. es. il momento angolare o l'energia. Tale valore però
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Ricordando (v. nota al § 52, P. II) che l'espressione dell'energia in funzione delle q e delle p si è indicata genericamente con (q, p) e si è
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concludere che a un'osservabile definita come F(q) corrisponde l'operatore F(q), e a una F(p) corrisponde cioè l'operatore ottenuto dalla data funzione
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La meccanica ordinaria permette di esprimere il valore della grandezza G al tempo t come funzione G = F(q, p) delle coordinate cartesiane e dei
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d) Caso generale. Sia ora G un'osservabile qualunque, definita direttamente (cioè mediante operazioni che non implicano la misura delle q e delle p
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, che indicheremo con chiamando i momenti ad esse coniugati: sia F(Q, P) questa espressione. Per ottenere l'operatore G, bisogna passare alle
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particelle, soggette a forze derivanti da un potenziale (nel qual caso la funzione F(q, p) è la hamiltoniana (q, p)) si ritrova il procedimento del § 19 per
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Vogliamo ora stabilire delle altre importanti relazioni di permutazione. Sia una funzione delle sole q, e consideriamola come un operatore : si ha
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dove, al solito, , e l'integrale si intende esteso a tutto lo spazio delle q. Come si vede, a un determinato stato dei sistemi corrisponde un
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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(dove P è simbolo di funzione razionale intera e Q di funzione qualunque), ad essa corrisponderà una matrice per la quale varranno (in qualunque
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Si deve partire, come nel § 22, dall'espressione analitica dell'osservabile G in funzione delle q e delle p, espressione che tiene luogo di
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in casi più generali, p. es. se si tratta di forze magnetiche, dipenderà anche dalle p oltrechè dalle q, e quindi conterrà anche dei simboli di
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derivano da un potenziale u(q), sarà (ricordando che
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Moltiplichiamo (a sinistra) i due membri per e integriamo rispetto a tutto lo spazio delle q, tenendo presenti le condizioni di ortogonalità e
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Di qui si ricavano le c, moltiplicando i due membri per e integrando su tutto lo spazio delle q: si ottiene così
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con l'insieme delle coordinate e dei momenti di una di esse, con quelli dell'altra, includendo nelle q anche la variabile di spin, che designeremo
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la permutazione è pari o dispari; l'espressione è poi evidentemente antisimmetrica, perchè lo scambio di due qualunque delle q, equivalendo allo
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i valori di x per cui sono regolari i coefficienti P e Q: solo nei punti dove uno almeno di essi presenta una singolarità può presentarsi una
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e si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si può scrivere
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dove la funzione H (q 1, q 2, ..., q f, p 1, p 2, ..., p f), detta funzione di Hamilton, o semplicemente Hamiltoniana, s'identifica, per il caso dei
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dei sistemi che occorre considerare nelle applicazioni fisiche. Per questi sistemi, la posizione viene caratterizzata dai valori di certi parametri q
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La variabile p r, che prende il nome di momento coniugato alla q r, è data, per definizione, da
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Dalla forma delle equazioni di Hamilton risulta che, note le q r e le p r al tempo t = 0, resta determinato lo stato del sistema, e quindi i valori
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corrispondenza tra i punti dello spazio delle fasi e gli stati del sistema: invero, dato lo stato, sono noti i valori delle q r e delle p r, e quindi si
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coordinate q r e p r del punto rappresentativo e cioè le 2f componenti della sua velocità nello spazio a 2 f dimensioni delle fasi.
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in funzione delle sue variabili di stato q 1, ... p 1, .... La formula (10) esprime la legge di ripartizione di Boltzmann, e si piò considerare il
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sistema a un solo grado di libertà, avente la coordinata generale q e il momento coniugato p. Lo spazio delle fasi è in questo caso a due dimensioni e ha
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Accademia della crusca
