Queste condizioni si possono anche scrivere
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Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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Nel caso che la f(x, 0) sia una funzione pari (o dispari) si possono adoperare le formule (53'), (54'), (53"), (54"), che divengono:
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Considerazioni analoghe si possono fare per l'assorbimento. (v. anche § 43 p. III).
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Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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Si possono inoltre definire in modo ovvio le operazioni di somma, differenza, ecc.
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Si possono definire delle operazioni di combinazione tra operatori lineari analoghe alle operazioni di somma, differenza, ecc. con cui si possono
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Se esiste l'inverso di , si possono definire le potenze di ad esponente negativo, ponendo
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Gli elementi di questa matrice si possono calcolare, osservando che rappresenta la componente m-esima del vettore e quindi (v. form. (8)):
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I coefficienti costituiscono una doppia infinità (discreta) di numeri (generalmente complessi), che si possono disporre in uno specchio (matrice) di
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con i coefficienti c arbitrari. Naturalmente, alle si possono sostituire p loro combinazioni lineari, ortogonali tra loro (ciò si dimostra come al
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(1) Si considera qui, per semplicità di scrittura, il caso di valori discreti, ma le G' possono anche costituire un sistema continuo, come p. es
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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ma a . Le si possono chiamare le autofunzioni di approssimazione d'ordine zero.
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Gli elementi diagonali restano arbitrari (purchè reali) e si possono prendere nulli.
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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e si possono quindi prendere come componenti di j le espressioni
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(1) E precisamente per tutti i valori di N multipli di 4 : tali soluzioni però si possono ricondurre a quella, per N = 4.
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Quanto alle quattro matrici , si possono prendere le seguenti, che, come si verifica, sono hermitiane e soddisfano la (266'):
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: allora le quattro equazioni precedenti si possono riassumere nelle formule:
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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(304) e (305) si possono compendiare nella formula:
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Allora e si possono esprimere mediante queste nuove combinazioni, e divengono:
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Le relazioni di ortogonalità e quelle di normalizzazione si possono esprimere con una formula unica introducendo il simbolo, di uso frequente e assai
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1. Segmenti orientati. – I punti di un segmento (rettilineo) di estremi distinti A e B si possono pensare ordinati in due versi opposti: da A verso B
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Le leggi del moto di un grave sono state formulate, in base a geniali induzioni fondate sulla osservazione sperimentale, dal Galilei e si possono
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nulla) e va a zero uno dei termini della (6) (quello in cui figura tale raggio); ma non possono annullarsi simultaneamente poiché le traiettorie polari
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istante che si prende in considerazione) possono essere:
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Questa osservazione ha una ragion d’essere, in quanto, come vedremo (n. 20), per sistemi non olonomi possono esistere spostamenti virtuali non
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Pagina 300
Giova avvertire che le osservazioni empiriche, da cui ci faremo guidare alla formulazione dei suaccennati principi, non hanno e non possono avere
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Pagina 311
Ma, poiché è verificata la (2), si possono sempre determinare α, β, γ dal sistema lineare
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Un sistema di vettori a trinomio invariante non nullo (nel qual caso, per essere T = M x R, né R, né M possono annullarsi) è sempre equivalente ad un
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che possono interpretarsi come i momenti d’inerzia del sistema rispetto ai piani coordinati. Si ha infatti identicamente
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Pagina 446
Usufruendo della (10) e badando che ρ ed r non dipendono dalla posizione di Q su σ, e possono quindi essere portati fuori del segno integrale
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riguarda l'attrazione, si possono senz’altro applicare i risultati dei nn. prec. Non c’è che da sommare i contributi elementari dovuti ad ogni dK
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A titolo di apprezzamento, si possono sostituire i valori esatti degli elementi di confronto coi primi termini dei rispettivi sviluppi corrispondenti
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fuori di esso(mentre ve ne possono essere di interni). Naturalmente, anche prefissato il numero dei punti di appoggio, possono darsi vari casi quanto
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Le proiezioni verticali l i sin αi si possono così esprimere sotto la forma
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Ad ogni modo rimane, in valore assoluto, inferiore a cosichè a e si possono sostituire i primi quattro termini dello sviluppo in serie, trascurando
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Mostrare che vi possono essere, secondo i casi, quattro, due o nessuna posizione di equilibrio relativo per la pallina.
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Queste equazioni si possono raccogliere nell’unica equazione vettoriale
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Le leggi che determinano come le variabili di stato variano col tempo (equazioni del movimento) si possono scrivere, nella forma canonica di Hamilton,
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Questi risultati si possono altresì mettere in relazione col principio d'indeterminazione di Heisenberg
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realizzare in due modi deriva dalla circostanza che le due particelle possono prendersi in un ordine oppure nell'ordine opposto -. Se invece vale la statistica
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Nel caso delle nuove statistiche si trovano invece equazioni di stato differenti, che nel caso limite di piccola degenerazione, si possono scrivere
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Accademia della crusca
