Possiamo ora estendere al caso di un intervallo infinito lo sviluppo di una funzione arbitraria in serie di autofunzioni: si avrà però in
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, ci possiamo accorgere che una particella materiale ha compiuto un «atto elementare di emissione», o dal fatto che la sua energia è diminuita senza che
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figura di diffrazione, che possiamo schematizzare in un dischetto uniforme di centro P' e raggio
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Per dare forma definitiva all'equazione fondamentale della meccanica ondulatoria (108') resta da specificare il coefficiente che possiamo chiamare
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velocità di gruppo (v. § 14), che è data dalla (74'), che possiamo scrivere (notando che )
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Ognuna di queste funzioni è della stessa forma dalla u trovata nel problema unidimensionale (§ 35, form. 149): come si è visto in quel caso, possiamo
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Ricordando ora il principio di sovrapposizione, possiamo interpretare nel modo seguente la soluzione (213): quando lo stato della particella è
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Analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso unidimensionale (§ 38), possiamo ora considerare brevemente il caso di una particella vincolata a
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un nucleo di carica Ze e da un solo elettrone (il caso dell'idrogeno corrisponde a Z = 1). Data la massa preponderante del nucleo, possiamo
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Ora possiamo scrivere le tre condizioni di Sommerfeld, che sono
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Possiamo ora precisare quantitativamente questo ragionamento. Chiamiamo v la velocità acquistata dall'elettrone urtato: la sua forza viva sarà
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dove i coefficienti sono funzioni di . A ciascuno di questi coefficienti possiamo ora applicare lo stesso procedimento, considerandolo funzione della
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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i cui autovalori supponiamo discreti) è rappresentata da un versore , e che questi infiniti versori sono ortogonali tra loro: possiamo quindi dire
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Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che un operatore definisce una corrispondenza tra punti (o tra vettori) dello spazio funzionale
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) di versori , mediante un' altra matrice di trasformazione : possiamo allora dimostrare che si può passare direttamente dal riferimento y al riferimento
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e supporremo sempre le normalizzate. Esse rappresentano dunque altrettanti vettori unitari che possiamo anche supporre tutti ortogonali tra loro (1
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che possiamo chiamare ascissa: che il 2° ed il 3° metodo ivi descritti definiscano la stessa osservabile, è un postulato che si ammette generalmente.
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dovrebbe precisare il dispositivo di misura : p. es. la camera oscura descritta al § 23 p. II (1° met.) definisce una osservabile che possiamo chiamare
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di Schrödinger (v. § 30 p. II) che ora possiamo scrivere nella forma
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', possiamo trovare in N', cioè sul prolungamento del raggio AN, una frangia chiara. Dovremmo dunque pensare che i corpuscoli provenienti da A sono
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b) Caso di G = px. Se l'osservabile G è una componente dell'impulso, p. es. , possiamo verificare che l'operatore corrispondente è
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Ora, avendo già riconosciuto che gli operatori corrispondenti alle coordinate sono le stesse, e quelli corrispondenti ai momenti sono , possiamo
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sua «fase»). o «semplici» o «a energia definita»: possiamo ora caratterizzarli con la proprietà che il vettore di stato giace su uno degli assi
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Possiamo ritrovare facilmente, mediante il teorema ora dimostrato, il fatto ben noto che una coordinata cartesiana e la corrispondente componente
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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Possiamo dunque dire che, delle quattro , le due con indice dispari corrispondono (nel modello vettoriale) allo spin orientato parallelamente
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., un atomo): se ci lasciamo guidare dal modello corpuscolare, e pensiamo gli elettroni come minuscole palline, possiamo sempre attribuire un significato
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Poniamoci dapprima nell'approssimazione zero, cioè trascuriamo l'interazione tra le due particelle. Possiamo allora considerare ciascuna di esse come
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determinare per via elettrica i vari livelli energetici. Non possiamo descrivere tutti i particolari tecnici e le molteplici varianti di tali esperienze
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) diviene la già citata relazione (26) tra λe v, che possiamo quindi ritenere fondata su solide basi sperimentali (1) Indipendentemente da queste, De
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elettrone o di fotone associamo le sole proprietà determinabili sperimentalmente, possiamo verificare che queste, come è naturale, non sono in contrasto
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definiscono uno stato del sistema. Possiamo dunque affermare che un punto nello spazio delle fasi rappresenta uno stato del sistema, e nel seguito
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, ..., q f, conoscere anche le loro derivate rispetto al tempo ó 1, ó2, ..., ó f. Possiamo dunque affermare che, per definire completamente lo stato
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rappresentativi nello spazio delle fasi. Possiamo dunque così formulare il risultato precedente:
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e siccome ω (E) non dipende dallo stato del primo sistema, possiamo concludere che la probabilità che questo si trovi in uno stato appartenente a dt
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unicamente della temperatura T comune a tutti i sistemi in contatto. Possiamo dunque scrivere, per ogni sistema contenente un grande numero di molecole,
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sistema dato. Per mantenere il sistema alla temperatura T, possiamo pensare di porlo in contatto con un corpo assai più grande del sistema dato e che
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possibili per l'energia, ha conseguenze statistiche assai notevoli. Siano w 1, w 2, ..., w r ... i livelli energetici di un atomo o molecola. Possiamo
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particelle identiche. Possiamo chiarire la situazione con un esempio particolarmente semplice: si abbia un sistema contenente due particelle identiche
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Accademia della crusca
