, o rispettivamente
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(1) Il limite si riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe le parti: altrimenti si legga solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo
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è sempre > O. Sviluppando questa espressione si ha
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dell'equazione o è regolare in o al più presenta una singolarità che consente di metterlo nella forma
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di rivelare la radiazione, consiste nel servirsi della pressione da essa esercitata, o dell'impulso impresso da essa ad un elettrone (p. es
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o anche, ponendo per la (128),
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Potremo porre nella (145) U = O, e allora, ponendo per brevità
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Conviene ora distinguere due casi secondo che l'energia E della particella è inferiore o no al dislivello di potenziale (supporremo in ogni caso che
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la quale potrà essere reale o immaginaria, secondochè oppure .
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Si chiama oscillatore armonico il sistema costituito da un punto materiale mobile su una retta, e attirato verso un punto O di questa da una forza
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(1) Vedasi, p. es., bibl. n°.25 o n.°34.
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o per : poichè si richiede invece che la u sia dovunque finita, ne concludiamo che , cosicchè nella espressione di X gli esponenti divengono
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il quale, se fosse positivo, diventerebbe infinito o per
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n' +1— A O ,
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(1) V. KRAMERS l. cit. o anche bibl. n. 22.
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(i quali rappresentano tutte le funzioni esprimibili come combinazioni lineari di si dice che formano una varietà (o sottospazio) lineare ad n
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è la somma dei tre o. l. si può scrivere cioè
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Chiamasi prodotto dell'o. l. per l'o. l. , e si indica con , l'operatore esprimente l'operazione di applicare prima l'operazione e poi, sulla
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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Invece i due o. l.
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Evidentemente, il prodotto di due o. l. è anch'esso lineare.
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Dato un o. l. , se esiste un o. l. tale che
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Si riconosce poi immediatamente che un o. l., funzione di uno o più o. l. , permutabili tra loro, è permutabile con ciascuno di essi.
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sono. Infatti, nel termine generale della (17) l'ordine dei fattori e è indifferente, talchè si potrebbe scrivere invece di p. es. o , o anche in
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Poichè a ogni o. l. corrisponde (fissato il sistema di riferimento) una matrice, e viceversa, è evidente che dalle operazioni di somma, differenza
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Passiamo al prodotto di due matrici . Chiamiamo l'o. l.
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Dimostriamo ora che, se e sono o. l. hermitiani, sono tali anche i due o. l.
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reali). Inoltre, un o. l., funzione (a coefficienti reali) di più o. l. hermitiani e permutabili, è evidentemente hermitiano anch'esso (se però gli o. l
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(1) La dimostrazione di questo si fa per un o. l. generico (purchè hermitiano) come fu fatta al § 5 p. II per l'o. l. (47). Se e appartengono a due
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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Applicando ai due membri l'o. l. si ottiene
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e denotiamo con l' o. l. . Sarà
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Questo teorema suggerisce una importante generalizzazione del concetto di funzione di un o. l. (che fin qui era limitato alle funzioni analitiche
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Applicando alla prima l'o. l. , alla seconda , si ottiene rispettivamente
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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In modo analogo si ragiona per il caso che entrambi gli operatori siano degeneri o incompleti, nel qual caso il legame tra i risultati delle due
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come pure sono evidentemente permutabili due o due
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o, in forma esplicita,
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e scrivendo l'equazione per o per nella solita forma (81) o (82). Si può anche dire che l'operatore corrispondente alla presenza di un campo
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o anche
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o anche
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Questo risultato giustifica il successo della teoria modellistica dello spin, in quanto essa postulava che lo spin potesse disporsi o parallelamente
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o anche, esplicitando e ricordando l'espressione del magnetone di Bohr,
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Dovendosi escludere la soluzione , dovrà aversi o o : e poichè ognuno di questi autovalori, come vedremo subito, è doppio, lo conteremo per due, e
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ora, essendo un operatore simmetrico, se in un certo istante t è simmetrica (o antisimmetrica) tale risulta anche e quindi : dunque la al tempo t
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(1) Una permutazione è pari o dispari a seconda che può essere ottenuta con un numero pari o dispari di trasposizioni, cioè di scambi di due soli
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, per ciascuno di questi scambi o trasposizioni, il ragionamento del § precedente, e si giunge alla conclusione che la deve essere o simmetrica o
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Allora gli integrali fondamentali y1, y2 conterranno anch'essi il parametro λ, e quindi lo conterrà anche il primo membro della (6) o della (7) che
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Accademia della crusca
