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 Le  relazioni algebriche tra osservabili si tradurranno in
si tradurranno in relazioni della stessa forma tra  le  matrici che le rappresentano, intendendosi naturalmente le
in relazioni della stessa forma tra le matrici che  le  rappresentano, intendendosi naturalmente le operazioni di
le matrici che le rappresentano, intendendosi naturalmente  le  operazioni di somma e prodotto tra matrici definite con le
le operazioni di somma e prodotto tra matrici definite con  le  regole del § 6. In particolare, tra le matrici e
matrici definite con le regole del § 6. In particolare, tra  le  matrici e rappresentanti le coordinate e i momenti
del § 6. In particolare, tra le matrici e rappresentanti  le  coordinate e i momenti varranno, in qualunque schema, le
le coordinate e i momenti varranno, in qualunque schema,  le  relazioni di permutazione
 Le  condizioni di quilibrio (1) o (1') implicano tanto le F ,
condizioni di quilibrio (1) o (1') implicano tanto  le  F , quanto le Φ. Ma in generale i dati direttamente
di quilibrio (1) o (1') implicano tanto le F , quanto  le  Φ. Ma in generale i dati direttamente conosciuti sono le
le Φ. Ma in generale i dati direttamente conosciuti sono  le  forze attive F e le modalità di realizzazione dei vincoli
i dati direttamente conosciuti sono le forze attive F e  le  modalità di realizzazione dei vincoli esterni, non le
F e le modalità di realizzazione dei vincoli esterni, non  le  corrispondenti reazioni Φ, le quali compaiono nel problema
dei vincoli esterni, non le corrispondenti reazioni Φ,  le  quali compaiono nel problema come incognite ausiliarie.
oltre ad altre costanti arbitrarie . Trovata questa,  le  equazioni del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti
. Trovata questa, le equazioni del moto si hanno scrivendo  le  relazioni seguenti tra le q, le p e t (da cui si potrebbero
del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti tra  le  q, le p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente
del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti tra le q,  le  p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente le q e
q, le p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente  le  q e le p in funzione di t):
p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente le q e  le  p in funzione di t):
con ξ, η, ζ  le  coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le
ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per  le  coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k
alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per  le  componenti dei versori i, j, k rispetto allo stesso
dei versori i, j, k rispetto allo stesso riferimento  le  notazioni del n. 8 del Cap. I, deduciamo dalla (5) le
le notazioni del n. 8 del Cap. I, deduciamo dalla (5)  le 
la sollecitazione si dirà puramente posizionale quando  le  F i dipendono esclusivamente dalla configurazione del
come risulta dalle (11), dipenderanno dalle sole q h anche  le  componenti lagrangiane Q h ; e le condizioni d’equilibrio
dalle sole q h anche le componenti lagrangiane Q h ; e  le  condizioni d’equilibrio (12) forniscono n equazioni fra le
le condizioni d’equilibrio (12) forniscono n equazioni fra  le  n coordinate di posizione q h, le quali caratterizzano le
n equazioni fra le n coordinate di posizione q h,  le  quali caratterizzano le configurazioni di equilibrio del
le n coordinate di posizione q h, le quali caratterizzano  le  configurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a
un punto libero sollecitato da una forza posizionale, per  le  equazioni che si ottengono eguagliando a zero le tre
per le equazioni che si ottengono eguagliando a zero  le  tre componenti cartesiane della forza attiva.
calcolare  le  , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin,
calcolare le , calcoliamo, mediante  le  (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro
calcolare le , calcoliamo, mediante le (391),  le  autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di
queste analogie (e per altre che tosto indicheremo) fra  le  X i, Y i, Z i e le Q h, queste ultime quantità scalari si
(e per altre che tosto indicheremo) fra le X i, Y i, Z i e  le  Q h, queste ultime quantità scalari si sogliono chiamare le
le Q h, queste ultime quantità scalari si sogliono chiamare  le  componenti della sollecitazione del dato sistema secondo le
le componenti della sollecitazione del dato sistema secondo  le  coordinate lagrangiane q h.
poi stabilire  le  regole di permutazione degli operatori . Ciò è stato fatto
operatori . Ciò è stato fatto dal Pauli ammettendo che  le  componenti dello spin si comportino a questo riguardo come
componenti dello spin si comportino a questo riguardo come  le  componenti di un ordinario momento angolare, le quali
come le componenti di un ordinario momento angolare,  le  quali soddisfano, come si è dimostrato al § 30, le
le quali soddisfano, come si è dimostrato al § 30,  le  relazioni di permutazione (125). Poichè queste valgono per
unità, dovremo in esse sostituire con , ecc.; troviamo così  le  relazioni di permutazione seguenti:
esprimendo  le  frequenze mediante le lunghezze d'onda,
esprimendo le frequenze mediante  le  lunghezze d'onda,
Trascuriamo  le  azioni magnetiche tra le particelle del sistema le quali
Trascuriamo le azioni magnetiche tra  le  particelle del sistema le quali sono intimamente legate
le azioni magnetiche tra le particelle del sistema  le  quali sono intimamente legate alle correzioni
anzitutto  le  componenti della densità media di corrente j (da cui
dall'elettrone) mediante la formula (264), introducendovi  le  e definite nel § precedente mediante le (275): avremo,
introducendovi le e definite nel § precedente mediante  le  (275): avremo, usando le (267):
definite nel § precedente mediante le (275): avremo, usando  le  (267):
con ξ, η, ζ e x, y, z  le  coordinate di P rispetto alle due terne ordinatamente,
varieranno, durante il moto, in funzione del tempo tanto  le  une quanto le altre. Se sono date le equazioni del moto
durante il moto, in funzione del tempo tanto le une quanto  le  altre. Se sono date le equazioni del moto relativo di P
del tempo tanto le une quanto le altre. Se sono date  le  equazioni del moto relativo di P
Non sarà male osservare esplicitamente che, come già  le  aree e i volumi, così anche le velocità e le accelerazioni
esplicitamente che, come già le aree e i volumi, così anche  le  velocità e le accelerazioni sono grandezze derivate solo
che, come già le aree e i volumi, così anche le velocità e  le  accelerazioni sono grandezze derivate solo per convenzione.
per quanto si è detto,  le  X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro
si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante  le  (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile
detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e  le  loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z  le  componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a,
e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z  le  coordinate di A e a, b, c quelle di P, le componenti di A-P
v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P,  le  componenti di A-P sono x - a, y - b, z - c, cosicché dalle
y - b, z - c, cosicché dalle (24) del n. 24 ricaviamo per  le  componenti di M le espressioni
dalle (24) del n. 24 ricaviamo per le componenti di M  le  espressioni
 le  sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24,
sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24,  le  linee di forza sono le rette della stella di centro O.
mentre, come già si notò al n. 24, le linee di forza sono  le  rette della stella di centro O.
versori i e j avranno per  le  (13) le componenti
versori i e j avranno per le (13)  le  componenti
Eliminando fra  le  (12) la U,si trovano le tre equazioni
Eliminando fra le (12) la U,si trovano  le  tre equazioni
integrate, danno per  le  componenti della velocità v le espressioni
integrate, danno per le componenti della velocità v  le  espressioni
 Le  leggi di Keplero sono come è noto, le seguenti:
leggi di Keplero sono come è noto,  le  seguenti:
questa, sostituiremo  le  derivate di con le loro espressioni ricavate dalla (259) e
questa, sostituiremo le derivate di con  le  loro espressioni ricavate dalla (259) e dalla sua
e dalla sua coniugata, che è (designando al solito con  le  matrici ottenute da e cambiando le linee con le colonne, e
al solito con le matrici ottenute da e cambiando  le  linee con le colonne, e prendendo il coniugato di ogni
solito con le matrici ottenute da e cambiando le linee con  le  colonne, e prendendo il coniugato di ogni elemento) (1) Si
assumendo per  le  le espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
assumendo per le  le  espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
 le  ipotesi, le quantità del secondo membro sono tutte
le ipotesi,  le  quantità del secondo membro sono tutte conosciute.
 le  formule dedotte fin qui valgono rigorosamente, cioè
l'effetto della perturbazione è piccolo, cioè consideriamo  le  , e le come quantità piccole del I ordine (1) Più
della perturbazione è piccolo, cioè consideriamo le , e  le  come quantità piccole del I ordine (1) Più precisamente
piccole del I ordine (1) Più precisamente supponiamo tutte  le  piccole del primo ordine rispetto alle differenze : da ciò
rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e  le  sono piccole del primo ordine (rispetto a e ad 1
ad 1 rispettivamente). . Se allora nella (173) trascuriamo  le  quantità del secondo ordine, essa ci dà per un valore di
tenendo conto delle (19), otteniamo per  le  reazioni le espressioni generali
tenendo conto delle (19), otteniamo per le reazioni  le  espressioni generali
particolare, se  le  coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y,
particolare, se le coordinate q sono  le  ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i
x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono  le  componenti dell'impulso (o quantità di moto), si ha cioè,
 Le  forze in giuoco saranno in istato di equilibrio limite
stiano per avvenire degli strisciamenti, non è detto che  le  reazioni di attrito radente siano le più grandi possibili.
non è detto che le reazioni di attrito radente siano  le  più grandi possibili. Comunque, considerando il sistema
(telaio e ruote), dovremo ritenere tuttora soddisfatte  le  equazioni cardinali dell’equilibrio. E qui, per le
le equazioni cardinali dell’equilibrio. E qui, per  le  deduzioni che abbiamo in vista, basterà tener conto
basterà tener conto dell’annullarsi del risultante di tutte  le  forze esterne, le quali, astrazion fatta dalla resistenza
dell’annullarsi del risultante di tutte le forze esterne,  le  quali, astrazion fatta dalla resistenza dell’aria, si
infine estremamente appariscenti  le  relazioni tra la ionizzazione atmosferica e quegli stessi
magnetiche e alle aurore boreali. In casi particolari  le  perturbazioni della ionizzazione atmosferica che
della ionizzazione atmosferica che accompagnano  le  tempeste magnetiche raggiungono valori così grandi da
raggiungono valori così grandi da interrompere praticamente  le  comunicazioni radiotelegrafiche su regioni assai vaste.
secondo modo di soddisfare  le  (334) consiste nel prendere le della forma
secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere  le  della forma
risultano per  le  componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
per le componenti secondo gli assi della velocità v  le  espressioni
lor volta,  le  u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi
lor volta, le u, v, w, in quanto sono  le  componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che
assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha  le  componenti son date da
 Le  due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j,
due sommatorie doppie si calcolano, per  le  varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si
si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando  le  (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la
 le  (2) sugli assi fissi, si ottengono le equazioni del moto
le (2) sugli assi fissi, si ottengono  le  equazioni del moto assoluto, le quali si presentano sotto
assi fissi, si ottengono le equazioni del moto assoluto,  le  quali si presentano sotto la stessa forma delle (6) del
salva l’essenziale circostanza or ora accennata che qui  le  x, y, z, vanno interpretate come funzioni del tempo, date
cui, sfruttando  le  (40), (42) e le identità b Λ n = - t, si ricava
cui, sfruttando le (40), (42) e  le  identità b Λ n = - t, si ricava
questo operatore, invece che con  le  sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
questo operatore, invece che con le sei variabili , con  le  tre coordinate del baricentro
base a tale corrispondenza biunivoca tra i vettori e  le  terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi le coordinate
biunivoca tra i vettori e le terne di numeri X, Y, Z,  le  X, Y, Z diconsi le coordinate del vettore v rispetto alla
i vettori e le terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi  le  coordinate del vettore v rispetto alla terna Oxyz, o, con
con denominazione meno felice ma oramai prevalsa nell’uso,  le  componenti di v secondo gli assi x, y, z rispettivamente.
dalle (11). Da queste equazioni si desume anzitutto che  le  Q h risultano nulle tutte le volte che si annullano le
si desume anzitutto che le Q h risultano nulle tutte  le  volte che si annullano le forze direttamente applicate F i;
che le Q h risultano nulle tutte le volte che si annullano  le  forze direttamente applicate F i; e, in secondo luogo,
talché a coordinate indipendenti sia lecito assumere  le  coordinate cartesiane x i, y i, z i degli N punti P i, le Q
le coordinate cartesiane x i, y i, z i degli N punti P i,  le  Q h assumono la forma
vede di qui che  le  componenti del vettore sono le , le quali si ottengono
vede di qui che le componenti del vettore sono  le  , le quali si ottengono dalle componenti fn di f mediante
vede di qui che le componenti del vettore sono le ,  le  quali si ottengono dalle componenti fn di f mediante il
(infinite) relazioni lineari (22), i cui coefficienti sono  le  . Basta quindi la conoscenza di questi coefficienti per
ottenere  le  formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto
conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare  le  componenti dei versori y rispetto agli assi : le
le componenti dei versori y rispetto agli assi :  le  indicheremo con ponendo
si sostituiscano per e  le  loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
si sostituiscano per e le loro espressioni mediante  le  y, cioè (v. (32))
 Le  espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n
corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto  le  seguenti:
come prima, con  le  autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la
come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato,  le  quali hanno la forma
premesso, ricordiamo che fra  le  funzioni (16) e (17) sussistono le note relazioni
ricordiamo che fra le funzioni (16) e (17) sussistono  le  note relazioni
formiamo con  le  autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni,
formiamo con le autofunzioni posizionali  le  seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica
 Le  costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali
costanti e restano arbitrarie, e  le  prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
indichino con M x , My, M z  le  componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le
My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z  le  componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come
di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n. 28)  le  coordinate del punto generico P e con X, Y, Z le componenti
al n. 28) le coordinate del punto generico P e con X, Y, Z  le  componenti del risultante R.
x, y designano  le  coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π
x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e  le  α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché
Queste equazioni si possono dedurre sia particolarizzando  le  (6) del n. 4 del Cap. III, sia interpretando le note
le (6) del n. 4 del Cap. III, sia interpretando  le  note formule di trasformazione delle coordinate cartesiane
espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se  le  q e le p variano col tempo in modo da soddisfare le
G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e  le  p variano col tempo in modo da soddisfare le equazioni
se le q e le p variano col tempo in modo da soddisfare  le  equazioni della dinamica.
 Le  (16), (17) danno nel loro complesso le volute condizioni
(16), (17) danno nel loro complesso  le  volute condizioni necessarie e sufficienti per
 le  quali, per una verga piana, rispetto al cui piano si
rispetto al cui piano si possano ritenere simmetriche tanto  le  sollecitazioni quanto le azioni molecolari, si riducono, in
possano ritenere simmetriche tanto le sollecitazioni quanto  le  azioni molecolari, si riducono, in quanto risulta τ = 0, F

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