L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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e la (32) dà per i coefficienti l' espressione
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L'aumento di questo numero per unità di tempo è
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Sostituendo la (185) nella (183') si trova per v l' equazione
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Analogamente le condizioni di continuità per x = l danno
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Come si vede, fissato , il secondo membro cresce costantemente col crescere di l, e quindi decresce sempre coll'aumentare dello spessore della
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con l = 0, 1, 2,... (l'intero lchiamasi «quanto azimutale» perchè corrisponde al quanto azimutale della teoria di Bohr e Sommerfeld). Con questa
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La (285), insieme con l'espressione già trovata (v. form. 245 e 246) per , ci permette di scrivere l' espressione completa dell'autofunzione
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(1) V. KRAMERS l. cit. o anche bibl. n. 22.
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L'energia totale è (v. (183), § 39)
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L'energia cinetica è
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L'ultima, essendo costante, ci dà subito
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L'integrale si calcola prendendo come variabile d'integrazione ed osservando che
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l= 0 1 2 3 4 5 ...
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è la somma dei tre o. l. si può scrivere cioè
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Chiamasi prodotto dell'o. l. per l'o. l. , e si indica con , l'operatore esprimente l'operazione di applicare prima l'operazione e poi, sulla
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Invece i due o. l.
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L'ultima eguaglianza si può anche scrivere
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Evidentemente, il prodotto di due o. l. è anch'esso lineare.
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In generale, per tale prodotto non vale la proprietà commutativa, cioè l'operatore non coincide con l' operatore : è questo che rende l'algebra degli
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Dato un o. l. , se esiste un o. l. tale che
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Definite le potenze di un o. l. , si possono definire altri o. l. detti funzioni di esso nel modo seguente. Sia F(a) il simbolo di una funzione
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Si riconosce poi immediatamente che un o. l., funzione di uno o più o. l. , permutabili tra loro, è permutabile con ciascuno di essi.
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Passiamo al prodotto di due matrici . Chiamiamo l'o. l.
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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Dimostriamo ora che, se e sono o. l. hermitiani, sono tali anche i due o. l.
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reali). Inoltre, un o. l., funzione (a coefficienti reali) di più o. l. hermitiani e permutabili, è evidentemente hermitiano anch'esso (se però gli o. l
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dove L funge da «parametro»: come si è visto al § 2, p. II esistono infinite soluzioni indipendenti (autofunzioni) f = a ciascuna delle quali
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(1) La dimostrazione di questo si fa per un o. l. generico (purchè hermitiano) come fu fatta al § 5 p. II per l'o. l. (47). Se e appartengono a due
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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Applicando ai due membri l'o. l. si ottiene
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e denotiamo con l' o. l. . Sarà
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Questo teorema suggerisce una importante generalizzazione del concetto di funzione di un o. l. (che fin qui era limitato alle funzioni analitiche
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Applicando alla prima l'o. l. , alla seconda , si ottiene rispettivamente
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L'elemento generico della matrice sarà, conformemente alla (23),
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L'introduzione della funzione impropria ci permette di considerare formalmente gli assi dello spazio hilbertiano che abbiamo chiamati «continui» al
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e, per k ed l qualunque
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poichè la (185) si può scrivere (cambiando l'indice k in l)
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L'integrale della forza viva è
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L'equazione fondamentale (259'), che, introducendovi per la (265), diviene
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L'equazione di Dirac diviene allora
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Si noti che queste equazioni differiscono dalle (340) cui soddisfano F+ e G+ semplicemente per la sostituzione di l con . Una soluzione di questa
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(l) Per brevità di locuzione, comprendiamo nell'energia cinetica anche l'energia intrinseca , e la indichiamo con per distinguerla dall'energia
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(l) Per indicazioni bibliografiche più complete e per maggiori particolari su questo argomento e sulla annichilazione degli elettroni, rimandiamo al
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mentre l'autofunzione di spin si riduce, in sostanza, a un gruppo di due costanti e (corrispondenti rispettivamente ai due valori ± l della variabile
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L'equazione secolare che dà le si può dunque scrivere:
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(1) Essi sono detti: quanto totale n, quanto azimutale l, quanto magnetico m. L'ultimo non ha influenza sull'energia, eccetto il caso dell'effetto
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Accademia della crusca
