all'atomo il suo carattere di sistema elettricamente neutro. J. J. THOMSON, nel 1902, emise l'ipotesi che l'atomo fosse costituito da una sfera omogenea di
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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Si noti che per j > K il polinomio è identicamente nullo.
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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delle sole costanti : anzi, tali funzioni si potrebbero invertire e se ne potrebbero ricavare le in funzione delle f costanti J. Le condizioni di
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E poichè, come si è visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare questa come una funzione delle f costanti J, e
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differenti, che conducono a valori degli J non riducibili ai precedenti con sostituzioni lineari a coefficienti interi e determinante unitario, e quindi si
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dalle q alle q' deve appartenere ad un tipo particolarmente ristretto, che non altera le linee coordinate nè modifica gli integrali J (o, al più, opera su
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e quindi la condizione di Sommerfeld J = nh dà per E i valori
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riduce alla sola forza viva, è data (indicando con J il momento di inerzia) da
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dal § 31 l'espressione (137) della densità media di corrente elettrica j, e sostituiamovi per l'espressione trovata al § 46 per l'elettrone soggetto ad
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)): si trova subito che le componenti di j secondo il raggio vettore e secondo il meridiano sono nulle, mentre quella secondo il parallelo è
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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da un vettore j: usando, come faremo sempre in questo §, unità quantistiche, j sia un numero intero o semi-intero (cioè un numero intero più 1/2
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, nel qual caso j = 1/2, dà evidentemente il risultato seguente: la proiezione dello spin nella direzione del campo può assumere solo i due valori . Cioè
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quantici n, l, m che caratterizzano l'orbita, quella del momento angolare risultante, che, espresso in unità quantistiche, si indica con j e si chiama
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spin) è un vettore costante la cui grandezza risulta generalmente espressa (in unità quantistiche) da un numero intero o semi-intero J, che chiamasi
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Tornando ora ai sistemi idrogenoidi ed ai metalli alcalini, si osservi che ai due valori del quanto interno j corrispondono due livelli energetici
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. L. H. THOMAS, Phil. Mag. 3, (1927) p. 1; J. FRENKEL, ZS. f. Phys. 37, (1926) p. 243. . Con un calcolo, che non riportiamo, basato sulle ordinarie
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(1) V. L. H. THOMAS, Phil. Mag. 3, (1927) p. 1; J. FRENKEL, ZS. f. Phys. 37, (1926) p. 243.
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Infine, per il quanto interno j si trova, con considerazioni analoghe, la stessa regola di selezione
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versori i, j, k nello spazio ordinario definisce (1) Si sottintende che l'origine è fissata una volta per tutte. un sistema di assi cartesiani. Ora, con
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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La interferenza con singoli quanti è stata anche provata, con esperienze dirette di G. J. TAYLOR Proc. Cantb. Phil. Soc., 15, 114 (1909). e di
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Ora, la relazione di permutazione (156) dà, in particolare, per un elemento diagonale (j = k),
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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Per trovare i livelli energetici, non resta che da determinare la costante della (162): ciò si fa immediatamente particolarizzando la (157) per j = k
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utilizzato solo particolarizzandole per j = k) anche per .
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e cambiando l'indice di sommatoria l in j e badando alla (188):
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Per trovare la densità media di corrente elettrica j, osserviamo che essa dovrà soddisfare l'equazione «di continuità»
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elettrica media e della densità media di corrente j, che saranno la generalizzazione di quelle già trovate per il caso non relativistico.
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e si possono quindi prendere come componenti di j le espressioni
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), partendo da , si giunge agli stessi valori per e j come partendo da : la soluzione considerata dunque non è fisicamente diversa dalla precedente. Si può
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Calcoliamo anzitutto le componenti della densità media di corrente j (da cui dovremo poi ricavare il campo magnetico medio generato dall'elettrone
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Il potenziale vettore, da cui deriva il campo magnetico, si ottiene dalla densità di corrente j con la nota formula dell'elettromagnetismo
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Occupiamoci ora delle espressioni della densità elettrica (media) e della densità di corrente (media) j; conviene porre:
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sistema di riferimento) che si ricavano da con le formule analoghe alle (262), (264), sono uguali a quelle che si ricavano da P e j trasformandole con le
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angolare totale e prendendo questo uguale a , dove j è il quanto interno (v. § 62, p. II), cioè j = l + 1/2 nel caso (338) e j = l - 1/2 nel caso (341): la
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Nel caso poi di manca, come si è detto, la soluzione (341), vale a dire può avere solo il valore (ossia j solo il valore 1/2) come, del resto
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e, ricordando che per la soluzione di cui ci occupiamo si ha j = / 1/2,
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Passando ora a considerare la soluzione (341), corrispondente a j = / — 1/2, non occorre rifare il calcolo, bastando ricordare che le equazioni (343
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ma introducendo poi j + 1/2 in luogo di / si ricade nella formula (352). Questa esprime dunque i livelli energetici in entrambi i casi. Sviluppiamola
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energetici diversi, corrispondenti agli n valori che può assumere j (da 1/2 a n — 1/2): tali livelli risultano però assai vicini tra loro, perchè j
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della correzione relativistica alla teoria di Bohr e Sommerfeld) solo per avere j 1/2 in luogo di k: ma poichè tanto j + 1/2 che k assumono la stessa
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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(1 Phys. Rev., 30, 705 (1927); J. Chem. Ed., 5, 1041 (1928).
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Descriveremo ora schematicamente le prime memorabili esperienze di DAVISSON e GERMER (1 Phys. Rev., 30, 705 (1927); J. Chem. Ed., 5, 1041 (1928). .
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è assai opportuno, per la rappresentazione degli stati di un sistema, introdurre la seguente locuzione geometrica. Chiameremo, secondo J. W. Gibbs
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Accademia della crusca
