A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
fisica
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Si noti che per j > K il polinomio è identicamente nullo.
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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delle sole costanti : anzi, tali funzioni si potrebbero invertire e se ne potrebbero ricavare le in funzione delle f costanti J. Le condizioni di
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e quindi la condizione di Sommerfeld J = nh dà per E i valori
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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da un vettore j: usando, come faremo sempre in questo §, unità quantistiche, j sia un numero intero o semi-intero (cioè un numero intero più 1/2
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(1) V. L. H. THOMAS, Phil. Mag. 3, (1927) p. 1; J. FRENKEL, ZS. f. Phys. 37, (1926) p. 243.
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Infine, per il quanto interno j si trova, con considerazioni analoghe, la stessa regola di selezione
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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Ora, la relazione di permutazione (156) dà, in particolare, per un elemento diagonale (j = k),
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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Per trovare i livelli energetici, non resta che da determinare la costante della (162): ciò si fa immediatamente particolarizzando la (157) per j = k
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utilizzato solo particolarizzandole per j = k) anche per .
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e cambiando l'indice di sommatoria l in j e badando alla (188):
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Per trovare la densità media di corrente elettrica j, osserviamo che essa dovrà soddisfare l'equazione «di continuità»
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e si possono quindi prendere come componenti di j le espressioni
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Il potenziale vettore, da cui deriva il campo magnetico, si ottiene dalla densità di corrente j con la nota formula dell'elettromagnetismo
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Occupiamoci ora delle espressioni della densità elettrica (media) e della densità di corrente (media) j; conviene porre:
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angolare totale e prendendo questo uguale a , dove j è il quanto interno (v. § 62, p. II), cioè j = l + 1/2 nel caso (338) e j = l - 1/2 nel caso (341): la
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Nel caso poi di manca, come si è detto, la soluzione (341), vale a dire può avere solo il valore (ossia j solo il valore 1/2) come, del resto
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e, ricordando che per la soluzione di cui ci occupiamo si ha j = / 1/2,
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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(1 Phys. Rev., 30, 705 (1927); J. Chem. Ed., 5, 1041 (1928).
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Descriveremo ora schematicamente le prime memorabili esperienze di DAVISSON e GERMER (1 Phys. Rev., 30, 705 (1927); J. Chem. Ed., 5, 1041 (1928). .
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D’altra parte se si indicano con i, j, k i tre vettori unitari che hanno la direzione e il verso degli assi orientati x, y, z rispettivamente, o
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, costanti i tre vettori fondamentali i, j, k. Inversamente, se durante un moto rigido i, j, k sono costanti, tale risulta in virtù della (5), per ogni punto
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i versori i e j avranno per le (13) le componenti
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Ma dal fatto che la torna di versori i, j, k è ortogonale e destrorsa risulta
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Ma dalle sei identità esprimenti che i vettori i, j, k , sono unitari e a due a due ortogonali:
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A tale scopo giova ricorrere ai versori fondamentali i, j, k, ed osservare che dalla definizione di prodotto vettoriale, tenuta presente la
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25. Sotto il primo punto di vista si riconosce immediatamente che J appartiene alla parallela condotta per J alla MT' IT'' (tangente comune ai due
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Ora ciascuno di codesti aspetti dà luogo, come vedremo, ad una proprietà di posizione del centro istantaneo di rotazione J di Φ' rispetto a Φ. La
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Analogamente in base al terzo aspetto del nostro moto si conclude che, se Γ è il centro di curvatura del profilo γ e Γλ quello della base, J
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è l'equazione della retta che congiunge l’origine I con l’intersezione J delle rette dianzi considerate.
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intersezione della normale colla retta Γ λ J, essendo a sua volta J intersezione di PC 1 colla parallela IT" alla tangente a γ in P.
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sia, per valori generici delle q j, di caratteristica n.
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
fisica
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Invero, se si denotano con P i', P j'', i punti di S', S'' con m i', m j'' le rispettive masse, si ha, per un qualsiasi punto O,
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Più precisamente se v i ( i = 1, 2,…, p)sono le lunghezze dei vari vettori di σ 1, w j quelle dei vettori di σ 2, e poniamo
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Il vettore J che ha per componenti tali integrali chiamasi integrale definito di v, relativo all’intervallo (t 0, t 1), e si rappresenta col simbolo
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Immaginando applicato tale vettore J(t) ad un punto fisso O, comunque prescelto, il secondo estremo è un punto P(t), esso pure funzione di t ed
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Sostituendo J in luogo di J si ottiene
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(26) J
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J
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1.° se ρ e φ sono le coordinate polari di un punto P del piano e i, j i soliti versori fondamentali del corrispondente sistema cartesiano Oxy, si ha
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Cfr. per es. il n. 169 (cap. VIII) nel vol. I del Traité de mécanique rationnelle dell’ Appell, e le monografie del sig. J. A. Bonneau Instruments de
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Le U j sono in tal caso forme lineari omogenee nelle componenti d x, dy, d z di un generico spostamento virtuale di P. Supposto che si tratti un
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5 . Dimostrare che, se ad ogni vettore v = X i + Y j del piano O x y si fa corrispondere il numero complesso
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Accademia della crusca
