dove h . ed ɷ sono due dati numeri positivi, definisce tutti e soli i moti vibratori smorzati di periodo : e di costante di smorzamento h.
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42. Ciò premesso, passiamo allo studio dei moti definiti dalla (49); ed anzitutto notiamo che, se h è negativo ed è precisamente h = -h 1 talché la
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43. Per l’accennata discussione, distinguiamo tre casi, secondo che è h 2 k o h 2 > k o h 2 = h 2 = k.
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e sappiamo già (n. 40) che questa equazione differenziale caratterizza per h > 0 i moti oscillatori smorzati (di periodo e costante di smorzamento h
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Del resto è facile ritrovar qui direttamente le equazioni orarie di questi vari moti, partendo dai risultati riassunti al n. 41. Sotto l’ipotesi h 2
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A) h 2 k (il che implica k >0).
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In tale ipotesi, se si pone k - h 2 = ω 2, la (49) diventa
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e questa equazione oraria, mentre per h > 0 o h = 0 si identifica con quella già nota dei moti oscillatori smorzati o, rispettivamente, dei moti
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B) h 2 > k.
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a) Supposto anzitutto h > 0, notiamo che con questa ipotesi (e con la precedente h 2 > k) sono compatibili le tre eventualità k > 0, k 0 e k = 0.
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Se h 2 > h, h > 0, k > 0 (ed è questo il caso più interessante per le sue interpretazioni fisiche) le due radici z 1, z 2 dalla (50) sono entrambe
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Infine se h > 0, k = 0 (la h 2 > k è implicitamente soddisfatta) si ha
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C) h 2 = k (il che implica k > 0, salvo il caso h = k = 0).
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c) Se h = 0, la h 2 > k implica k 0; e le radici della (50), date da
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b) L’ipotesi h 0 (insieme con la h 2 > k) caratterizza i moti inversi di quelli dianzi discussi, onde è inutile spendervi intorno parole.
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Per h 0 si ottengono i moti inversi di quelli or ora caratterizzati; ed infine, per h = 0 (h = 0) si ricade su di moti uniformi, come risulta dalla
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non si annulla mai per c 2 = 0 (o per h = 0); e se c 2 ≠ 0 ed h ≠ 0 si annulla soltanto per
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a) B' non giace sulla retta AA'. Detto O il punto di intersezione degli assi di AA', BB' (cioè delle perpendicolari nei rispettivi punti medi H, H
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non sia identicamente nullo nel campo di variabilità delle q h.
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q h = q h(t) (h = 1, 2,... , n)
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che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle q h . Il nuovo sistema S' che così si ottiene è ancora olonomo e il suo grado di libertà si
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e se ne fissa, in un generico istante t, una qualsiasi configurazione C, dando alle q h valori qualsivogliano, si otterrà una generica configurazione
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le l ' equazioni indipendenti che legano le coordinate q h , sulla generica configurazione C relativa all’istante t, dovranno soddisfare alle stesse
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data dalle (5), ove gli incrementi infinitesimi dq h , dt si intendano legati fra loro dalle l' equazioni (6). Risulta di qui che dati t e le q h
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h ) ove si riguardino gli incrementi infinitesimi dq h , e dt come arbitrari e indipendenti fra loro.
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10. Dall’ultima osservazione del n. prec. risulta che se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti q h (h = l,…, n) si impone un
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dove le a h, b siano funzioni delle coordinate q h ed, eventualmente di t, comunque prefissale, cioè tali che la (8) non sia deducibile per
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Se poi il sistema è riferito a coordinate q h sovrabbondanti e le equazioni che legano fra loro codeste q h, sono date dalle
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Se a certe variazioni, comunque scelte, δq h corrisponde per le (15) lo spostamento δP i, le stesse (15) danno, corrispondentemente alle - δq h, lo
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dove le variazioni δq h delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
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di confine, hanno pur esse al primo membro una espressione lineare omogenea nelle δq h colla sola particolarità che i coefficienti, anziché funzioni
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rappresentando v la densità, B e H la base e l’altezza del rettangolo esterno, b e h le corrispondenti dimensioni del rettangolo interno.
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Travi (cioè aventi sezioni di tal forma). Mostrare che, per ciascuna delle tre sezioni, coi significati di B, H; b, h, indicati nelle figure il
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Per un cilindro (r raggio, h altezza). si ha
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Φ 1 h 1 = p k 1,
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Invero, la Φ, come perpendicolare a π e destrorsa rispetto all’asse a orientato, ha, rispetto a questo, il momento h Φ ove si indichi con h la
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bp ≤ hp ossia b ≤ h;
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proporzionalità, che denoteremo con h 1 e h 2, sono in generale diversi, e precisamente si ha h 2 h 1. Ad es., per una sfera metallica di 1 metro di diametro
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Notiamo, infine, che, il fattore h 1 ammette una interpretazione perfettamente analoga a quella data al n. 27, nel caso del cilindro, per il
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dove i coefficienti h 1 ed h 2 designano due lunghezze sensibilmente indipendenti dalla sollecitazione esterna (e quindi da N), nonché dalla
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Γ τ ≤ h 1 N, Γ n ≤ hN,
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il dislivello h fra A e B, e il peso p dell’asta;
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d + h tg α.
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Per queste analogie (e per altre che tosto indicheremo) fra le X i, Y i, Z i e le Q h, queste ultime quantità scalari si sogliono chiamare le
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26. Fissiamo l'attenzione sulle n quantità scalari Q h definite dalle (11). Da queste equazioni si desume anzitutto che le Q h risultano nulle tutte
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sole q h . In tal caso, come risulta dalle (11), dipenderanno dalle sole q h anche le componenti lagrangiane Q h ; e le condizioni d’equilibrio (12
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si riconosce che la sollecitazione va risguardata nota, quando ciascuno dei vettori F i è dato in funzione delle q h , delle (che già chiamammo
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talché, immaginando la U espressa, per mezzo delle (8), in funzione delle q h e identificando i coefficienti delle d q h , si conclude
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supera o no h. Infatti, dacché Ψ(ψ) è funzione crescente di φ, per rendere Ψ(ψ) eguale ad h, dovremo, nel primo caso [Ψ(φ) > h] attribuire all
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ossia 31,5 mm., quindi superiore al parametro h d’attrito volvente per una strada in buono stato. Ma vi sono casi concreti, per. es. strade ghiaiose
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Accademia della crusca
