tempo: useremo invece la parola «gruppo» quando si tratterà di un numero limitato di onde.
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Esempio: gruppo d'onde di ampiezza costante. - Applichiamo le considerazioni precedenti al caso che la distribuzione iniziale della f sia quella
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Diremo che si tratta di un gruppo d'onde di lunghezza 2l. Esso si può pensare approssimativamente realizzato mediante una sorgente, capace di
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(diremo che si ha un gruppo d'onde ogni volta che la f ha valori sensibili solo entro un tratto limitato dell'asse x, ed è nulla o trascurabile nel
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una larghezza inversamente proporzionale alla lunghezza totale del gruppo d'onde (o alla durata dell'emissione).
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data ovviamente da . Se la sorgente emettesse luce indefinitamente, cioè se invece che un gruppo limitato di onde si avesse un treno illimitato (l
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è lo stesso della (62) (in virtù della (51') del § 12), e come semilunghezza (1) Applicandola p. es. al gruppo d'onde della fig. 19, questa
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(1) Applicandola p. es. al gruppo d'onde della fig. 19, questa definizione darebbe (approssimativamente) .
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In modo perfettamente analogo definiremo come centro del gruppo d'onde il punto x dato da:
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Ciò premesso, si può dimostrare che più è corto il gruppo d'onde, più larga è la riga spettrale che gli corrisponde, e precisamente che Δx e Δx sono
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Questa speciale forma del gruppo d'onde presenta la particolarità che la A(k) è rappresentata da una formula analoga alla f: si trova difatti usando
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Consideriamo un gruppo d'onde pressochè monocromatico, cioè tale che nello sviluppo di Fourier compaiano con intensità apprezzabile soltanto le
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Per comprendere come un gruppo d'onde possa, nel suo insieme, spostarsi con velocità diversa da quella delle singole onde, si osservino le onde
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Si osservi ora che l'integrale contiene x e t solo nella combinazione : ciò significa che il profilo del gruppo si sposta senza deformarsi, con
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Si osservi che la velocità di gruppo v è generalmente diversa dalla velocità con cui si spostano le singole onde (velocità di fase): difatti
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(64'). ed altre due formule analoghe: esso si sposta con una velocità uguale alla velocità di gruppo già definita nel caso unidimensionale
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dove L è la massima differenza di cammino ottico utilizzata dal reticolo. Ora questa non può evidentemente superare la lunghezza 2l del gruppo d'onde
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risulta tanto più indeterminata, quanto più corto è il gruppo d'onde, cioè quanto più esattamente è determinata, in ciascun istante, la posizione dei fotoni
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(1) O meglio, la durata di un gruppo d'onde coerenti: se l'illuminazione durasse più a lungo, ma avvenissero ogni tanto dei bruschi cambiamenti di
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Il , come si è visto al § 15, non può essere inferiore a , dove è la durata dell'illuminazione (1) O meglio, la durata di un gruppo d'onde coerenti
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velocità di gruppo (v. § 14), che è data dalla (74'), che possiamo scrivere (notando che )
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l'aspetto «a campana» che ha, p. es., la curva, degli errori di Gauss: allora si può dire che la (154) rappresenta un «gruppo d'onde», il quale inizialmente
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, non esiste una che posta nella (155') soddisfi la (156), e non è quindi possibile costruire il gruppo d'onde avente i requisiti imposti. Resta
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Questa formula dimostra che la precisione diminuisce col tempo, cioè che il gruppo d'onde, nel propagarsi (dopo il tempo O) si allarga sempre più
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In particolare, si possono determinare le in modo da costituire un piccolo gruppo d'onde, e allora si trova che questo si muove di moto alternativo
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da rappresentare un gruppo d'onde tanto più ristretto, quanto più precisa è stata la determinazione iniziale della x: Schrödinger ha poi dimostrato che
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valori dell'energia corrispondenti alle orbite dello stesso quanto totale n: allora ogni livello energetico si scinderà in un gruppo di livelli
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ortogonali (ciascuno dei quali è individuato mediante un gruppo di p numeri interi). Tutte le formule precedenti vanno allora modificate ponendo al posto di
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formule relative al caso di p = 1, avvertendo che per passare al caso generale basta sostituire ogni indice con un gruppo di p indici, e ogni
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considerato (tutti egualmente costituiti, ma eventualmente in stati differenti), se ne estragga a caso un gruppo molto numeroso, su ognuno dei sistemi di
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coordinate delle particelle costituisce un «gruppo completo di osservazioni» o anche una «osservazione massima» perchè fornisce, per così dire, un massimo di
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Un'altra differenza essenziale tra la meccanica classica e quella quantistica sta nel fatto che, nella prima, se si sostituisce al gruppo dei valori
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(1) Naturalmente l'indice n tiene qui il luogo di un gruppo di indici.
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tiene qui il luogo di un gruppo di indici.
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caso un certo numero (assai grande) di sistemi, si osserva su essi la , e se ne prende il valor medio; poi si estrae dall'insieme un altro gruppo assai
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sistema al tempo si può determinare non soltanto con un gruppo (completo) di osservazioni al tempo , ma anche con un gruppo (completo) di osservazioni al
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(1) Se il sistema è a più gradi di libertà, si dovrà intendere che K rappresenta una osservabile massima, ossia un gruppo completo di osservabili (v
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intendere che K rappresenta una osservabile massima, ossia un gruppo completo di osservabili (v. § 18) e le sono le autofunzioni comuni a tutti i loro
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, multiplo d'ordine p, si scinderebbe in un gruppo di livelli, alcuni dei quali sarebbero ancora multipli (d'ordine ) malgrado la perturbazione (almeno in
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«scindere» il livello energetico in un gruppo di p livelli vicini, dati, in prima approssimazione, da , . Al livello corrispondevano p stati stazionari
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può assumere, come vedremo, solo due valori, mentre n rappresenta al solito il gruppo di tre numeri quantici orbitali.
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cosicchè i due termini in questione si riducono a e tutto il gruppo dei sei termini con dà:
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). Indichiamo con , una generica delle 4 autofunzioni (che si ridurrà a un gruppo di 4 numeri ), e con il corrispondente autovalore: dovrà aversi
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, formano gruppo) che tale matrice esiste per una trasformazione di Lorentz qualunque, e si può costruire come prodotto di infinite matrici del tipo (325).
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(1) Un gruppo di quattro grandezze che in una trasformazione di Lorentz si trasformano come dicesi uno spinore (concetto analogo a quello di tensore
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con , e potrà essere, p. es., la del capitolo precedente (quindi, p. es., sta per il gruppo ). Qualunque osservabile del sistema deve avere
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Supponiamo ora che il gruppo dei quattro indici non sia identico al gruppo , vale a dire che le due particelle siano in stati diversi: allora risulta
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dove i = l, 2, ed rappresenta, ora, solo il gruppo dei tre numeri quantici orbitali dell'elettrone i-esimo, mentre il numero quantico di spin, , è
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mentre l'autofunzione di spin si riduce, in sostanza, a un gruppo di due costanti e (corrispondenti rispettivamente ai due valori ± l della variabile
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Se qualcuna delle dimensioni è nulla, le cose vanno come se Q non dipendesse dal corrispondente gruppo di argomenti; così, per es., il precedente
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Accademia della crusca
