È questa un'equazione di secondo grado che fornisce in generale due radici, , a cui corrispondono, in generale, due integrali della forma (86) che
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riduce a un polinomio di grado n. La condizione perchè sia essendo è, come si vede dalla (188), che sia
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dove è un polinomio, di grado n, del tipo che stiamo considerando: questi si chiamano polinomi di Hermite (1) Vedasi, p. es., bibl. n°.25 o n.°34
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e la soluzione cercata è un polinomio di grado l, soddisfacente alla formula ricorrente (236). Tali polinomi sono stati introdotti da tempo nella
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annulli il precedente), poichè allora si annullano anche tutti i successivi e la serie P si riduce ad un polinomio di grado : la condizione perchè
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soddisfa, come si è visto, la (242) per la soddisfa per per e così via: perciò la (242) è soddisfatta da (che è un polinomio di grado ) e quindi la
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Affinchè la serie si riduca ad un polinomio (di cui indicheremo il grado con n') occorre che sia : quindi che
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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Cenno sui polinomi di Laguerre. — Il polinomio di Laguerre di grado K, che si indica con , è definito mediante la formula
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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D'altra parte anche è, al pari di , un polinomio di grado n': quindi essi possono differire al più per un fattore costante, che indicheremo con
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numero delle radici positive del polinomio , ma si può dimostrare (teorema di Perron) che questo polinomio, di grado n', ha tutte le sue n' radici
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perchè essa aumenti di . Si dice allora che questo è un grado di libertà di «rotazione», mentre quelli corrispondenti a coordinate che oscillano
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che questo è un grado di libertà di «rotazione», mentre quelli corrispondenti a coordinate che oscillano periodicamente entro due limiti si chiamano
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Nel caso particolare di un solo grado di libertà, la condizione di Sommerfeld coincide con quella (303') che abbiamo dedotto in via approssimata
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nullo rispetto all'asse). Il sistema è a un solo grado di libertà, e la sua posizione in ogni istante può essere individuata mediante una coordinata
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schematizzata in vario modo, secondo il grado di approssimazione richiesto.
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termini di secondo grado siano le ): le danno i coseni di questi assi, mentre le lunghezze dei tre semiassi sono date da
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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Siamo ora in grado di ottenere una semplice dimostrazione della legge di ripartizione di Boltzmann. Dato un sistema che si trovi alla temperatura T
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degenerazione, ogni livello energetico deve venir ripetuto tante volte quanto è il suo grado di degenerazione.
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particolare suscettibile di vibrare con certe frequenze caratteristiche, ognuna delle quali si piò considerare corrispondente a un grado di libertà del sistema
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al più da un solo corpuscolo; uno stato degenere piò essere il massimo occupato da tanti corpuscoli, quanto è il grado di degenerazione dello stato
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successive è uguale ad h. E siccome ciascuno stato quantico corrisponde a una cella, concludiamo che: nel caso di sistemi a un grado di libertà lo spazio
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sistema a un solo grado di libertà, avente la coordinata generale q e il momento coniugato p. Lo spazio delle fasi è in questo caso a due dimensioni e ha
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Accademia della crusca
