riduce a un polinomio di grado n. La condizione perchè sia essendo è, come si vede dalla (188), che sia
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dove è un polinomio, di grado n, del tipo che stiamo considerando: questi si chiamano polinomi di Hermite (1) Vedasi, p. es., bibl. n°.25 o n.°34
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e la soluzione cercata è un polinomio di grado l, soddisfacente alla formula ricorrente (236). Tali polinomi sono stati introdotti da tempo nella
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annulli il precedente), poichè allora si annullano anche tutti i successivi e la serie P si riduce ad un polinomio di grado : la condizione perchè
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Affinchè la serie si riduca ad un polinomio (di cui indicheremo il grado con n') occorre che sia : quindi che
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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Cenno sui polinomi di Laguerre. — Il polinomio di Laguerre di grado K, che si indica con , è definito mediante la formula
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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D'altra parte anche è, al pari di , un polinomio di grado n': quindi essi possono differire al più per un fattore costante, che indicheremo con
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che questo è un grado di libertà di «rotazione», mentre quelli corrispondenti a coordinate che oscillano periodicamente entro due limiti si chiamano
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Nel caso particolare di un solo grado di libertà, la condizione di Sommerfeld coincide con quella (303') che abbiamo dedotto in via approssimata
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termini di secondo grado siano le ): le danno i coseni di questi assi, mentre le lunghezze dei tre semiassi sono date da
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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la z deve soddisfare all’equazione algebrica di 2° grado
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conoscono a priori, in qualche modo, una o due o tre soluzioni particolari, si è in grado di assegnare l’integrale generale rispettivamente con due
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con μ e ν indicandosi delle espressioni di terzo grado, in dt.
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Quando si verifica questa circostanza, si dice indifferentemente che n è il grado di libertà del sistema o che questo ha n gradi di libertà; cosicché
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Si può rilevare il caso speciale dei sistemi olonomi ad un solo grado di libertà e a vincoli indipendenti dal tempo, pei quali le configurazioni
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coordinate cartesiane dei punti del sistema e quello delle coordinate lagrangiane (o grado di libertà del sistema).
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Esempi di sistemi olonomi. - Il grado di libertà di un sistema olonomo è, per definizione, il numero delle rispettive coordinate lagrangiane
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altri 2 ne occorrono e bastano per individuare le orientazioni delle due aste. Perciò sarà 4 anche il grado di libertà nel piano di un quadrilatero
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Tenendo conto dei 2 volantini dei pedali abbiamo altri due parametri. Il grado di libertà è dunque complessivamente 9.
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Abbiamo implicitamente supposto che la bicicletta non sia a ruota libera. Vi sarebbe altrimenti un parametro di più e il grado di libertà sarebbe 10.
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Terminiamo determinando il grado di libertà di una bicicletta posta sul piano stradale Prescindiamo dai vincoli (anolono m i, come si vedrà nel
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(i = 1, 2,…, N) dei suoi N punti, le quali, se n è il grado di libertà del sistema, risulteranno legate fra loro (ed eventualmente al tempo) da l
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che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle q h . Il nuovo sistema S' che così si ottiene è ancora olonomo e il suo grado di libertà si
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; talché la massa indica il diverso grado di refrattarietà dei punti materiali a risentire gli effetti dinamici delle forze o, in altre parole, la loro
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grado delle varie lunghezze, da cui dipende.
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lunghezze, ma anche da quanti si vogliano tempi e da quante si vogliano masse, per mettere in evidenza che l’espressione di Q è omogenea di grado n 1
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Ciò vuol dire che l’equazione (18) deve essere omogenea di grado n 1 rispetto alle lunghezze, di grado n 2 rispetto ai tempi, di grado n 3 rispetto
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in cui la funzione a secondo membro dovrà essere pel n. prec., omogenea di grado zero nelle lunghezze e nelle masse e di grado uno nei tempi. Ma
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indipendente da lunghezze e masse ed è di grado 2 nei tempi. Perciò sarà
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45. Riducibilità di due sistemi equivalenti. -- Siamo ora in grado di dimostrare (cfr. n. 41) che ogni sistema σ 1 è riducibile a qualsiasi altro
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Punto vincolato a muoversi su di una curva (un grado di libertà).
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Questa conclusione ci mette in grado di discutere più in generale il problema dell’equilibrio di un punto appoggiato su di una superficie qualsiasi
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Per quanto precede, siamo in grado di assegnare i baricentri G', G", G 1', G 1'', di ciascuno di questi quattro triangoli. Per la proprietà
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Suppongasi infatti di aver riconosciuta la legge di variazione dei momenti di inerzia nei due casi a) e b). Saremo subito in grado di mettere in
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Siamo così in grado di dar forma concreta al termine complementare U* (n. 28), che costituisce la parte (d’ordine superiore al secondo) trascurata
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A titolo di notizia va ritenuto che i coefficienti delle successive potenze di ε nello sviluppo di φ (ε, γ) = sono polinomi di grado n in γ, detti
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, γ) = sono polinomi di grado n in γ, detti funzioni sferiche (di prima specie). . Essendo, per la (25)
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analiticamente il grado di indeterminazione, fornendo tre sole relazioni tra le n incognite (positive) Φ i. Questo carattere qualitativo delle Φ i
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grado in x, è essenzialmente positivo).
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individuata, essendo date le lunghezze P 1 P 2, P 3 P 2 ; ma già per n = 4, le equazioni in φ e ψ, liberate dai radicali, presentano un grado
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18. Sappiamo che dicesi a legami completi ogni sistema olonomo con un solo grado di libertà (cioè avente una sola coordinata lagrangiana) e a vincoli
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Ciò premesso è facile riconoscere che noi saremo in grado di discutere in ogni caso il problema dell’equilibrio di S, quando avremo determinato le
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13. Tutto ciò premesso, siamo in grado di esprimere che la sollecitazione (piana) a), b), c), testé precisata, ottempera alle condizioni di
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16. La (8) si riduce, con ovvia trasformazione, ad un’equazione di secondo grado in tgψ. Giova tuttavia premettere lo studio qualitativo della (8
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Questa osservazione ci pone senz’altro in grado di caratterizzare, anche per il caso dell’equilibrio relativo, il comportamento limite della tensione
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degenerazione, ogni livello energetico deve venir ripetuto tante volte quanto è il suo grado di degenerazione.
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al più da un solo corpuscolo; uno stato degenere piò essere il massimo occupato da tanti corpuscoli, quanto è il grado di degenerazione dello stato
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Accademia della crusca
