Gli elettroni sono uno dei costituenti essenziali di tutti gli atomi nei quali essi sono sempre presenti in numero maggiore o minore; per le
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che sono gli autovalori cercati.
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Gli autovalori sono dunque
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dopo la diffusione (se chiamiamo gli angoli formati con gli assi coordinati dalla direzione nella quale il quanto è stato diffuso) l'impulso del
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che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
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Dunque: gli autovalori della (183') sono tutti i numeri dispari positivi.
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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È evidente che valgono per gli operatori gli ordinari teoremi sulle potenze, p. es. = (n, m interi, positivi, nulli o negativi), ecc.
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che si può anche scrivere, scambiando gli indici di sommatoria,
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cioè: gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono coniugati. (In particolare, gli elementi della diagonale principale
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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teorema, cosicchè si può dire in tal caso: gli o. l. ed hanno gli stessi autovalori e le stesse autofunzioni.
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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rispettivamente con gli operatori (hermitiani)
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e applicando gli operatori ottenuti alla .
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che, introducendo le notazioni vettoriali anche per gli operatori, si riassumono nella formula
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Sono questi gli autovalori cercati, e gli stessi si troverebbero per ed .
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risulti diagonale. Traducendo queste uguaglianze tra matrici in uguaglianze tra gli elementi corrispondenti, e indicando con En gli elementi
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e queste si traducono nelle seguenti relazioni tra gli elementi delle matrici
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Per gli elementi della matrice si può dunque prendere (1) Si potrebbe naturalmente aggiungere a queste espressioni un fattore della forma , con
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(1) Si potrebbe naturalmente aggiungere a queste espressioni un fattore della forma , con arbitraria, ma gli autovalori risulterebbero, come si
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Questa relazione si traduce nella seguente relazione tra gli elementi (ricordando che gli elementi di sono della forma , e quelli di devono risultare
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Gli elementi diagonali restano arbitrari (purchè reali) e si possono prendere nulli.
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gli elementi della matrice di perturbazione risulteranno (v. form. 224 e 225):
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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e, per gli stati stazionari
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la quale, introducendo gli operatori
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che si potrebbero anche scrivere, esplicitando gli operatori,
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Applicando gli operatori definiti al § 50 si trovano subito le formule:
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Per raccogliere i primi due termini in un'unica sommatoria, conviene definire gli operatori
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Sarà allora (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
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e gli elementi della matrice di perturbazione sono dati da
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L'interpretazione classica della risonanza, dalla quale è derivato il nome del fenomeno, è la seguente. Gli atomi del vapore conterrebbero degli
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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onde risulta che le rispettive componenti secondo gli assi sono date da
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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e questa rappresenta un’effettiva limitazione per gli spostamenti del sistema.
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irreversibili gli spostamenti che tendono a staccarlo da σ (dalla parte consentita dal vincolo), reversibili gli ∞1 spostamenti tangenziali. Per due
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Gli spostamenti virtuali rimangono allora sottoposti a condizioni del tipo
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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sono tutte zero: le prime tre, perché l'origine cade nel centro di gravità, le seconde tre (n. prec.), perché gli assi coordinati sono gli assi
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Poniamo in O l’origine delle coordinate, e dirigiamo gli assi secondo gli spigoli, con che le equazioni delle sei facce sono
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Infatti, se si designano con Δx, Δy, Δz gli incrementi
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dove per gli spostamenti reversibili devesi assumere il segno di uguaglianza, mentre per gli irreversibili può valere l’uno o l’altro segno.
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valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili.
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gli spostamenti virtuali sono caratterizzati dall’unica condizione
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sappiamo che la conseguente limitazione per gli spostamenti virtuali
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della traiettoria e per componenti gli scalati
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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Accademia della crusca
