il quale, sotto condizioni assai larghe per le funzioni di sette argomenti a x, a y, a z, ammette infinite soluzioni, dipendenti nel loro insieme da
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dove ρ e Θ designano due assegnate funzioni di t.
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, della terna mobile, quali funzioni del tempo.
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dove le α, β, γ, αi, βi, γi sono funzioni date del tempo, di cui le prime tre non sono soggette ad alcuna condizione, mentre le altre nove debbono
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Come già per le equazioni del moto di un punto, ammetteremo che le funzioni α, β, γ, αi, βi, γi, siano tutte univalenti, finite e derivabili (almeno
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qualsiasi il vettore velocità τ(t) in più vettori (pur essi funzioni del tempo) e assumendo questi vettori come velocità di altrettanti moti traslatori.
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e di più supponiamo assegnato il moto di trascinamento mediante le funzioni vettoriali O(t), i(t), k(t), dove i , j , k, designano al solito i
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. prec., salva l’essenziale circostanza or ora accennata che qui le x, y, z, vanno interpretate come funzioni del tempo, date dalle (2).
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dove le x, y, z, denotano precisamente le funzioni (1). Notiamo che quest’equazione si ridurrebbe alla (5) del n. 4 del Cap. prec., se il punto P
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delle funzioni (1).
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Proiettando sugli assi mobili e denotando al solito le componenti di ω con p, q, r (funzioni note del tempo, che qui supporremo univalenti, continue
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un problema a due sole funzioni incognite.
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e poiché i secondi membri sono funzioni note di t, la determinazione di α, β, γ richiede soltanto quadrature.
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47. Le funzioni ρ(ζ), ρ'(ζ') sono legate, in virtù delle (15) e (16'), da una relazione differenziale che merita di essere segnalata, perché, può
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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dove a secondo membro compaiono certe 3N funzioni degli argomenti q l, q 2,... , q n ed, eventualmente, t, che noi supporremo univalenti, finite
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uni rispetto agli altri, siano vincolati ad assumere istante per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni di un
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dove le a h, b siano funzioni delle coordinate q h ed, eventualmente di t, comunque prefissale, cioè tali che la (8) non sia deducibile per
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In ogni caso noi supporremo che le componenti (10) della forza siano, rispetto ai loro sette argomenti, funzioni uniformi, finite, continue e
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nelle due funzioni incognite x, y dell’unica variabile z.
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equivalente ad un sistema di due equazioni del 1° ordine in due funzioni incognite di una sola variabile; p. es., se Z non è identicamente nulla, al
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Notiamo subito che, se vi è una funzione U soddisfacente alla (11), vi soddisfano anche tutte le funzioni U + c, dove c designa una costante additiva
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differenziale esatto) implica condizioni restrittive per le tre funzioni X, Y, Z di x, y, z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale
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equazioni differenziali nelle sole funzioni incognite x(t), y(t)
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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funzioni in modo perfetto, mentre poi la macchina costituita in grande non dia risultati soddisfacenti; e con geniale intuito attribuì questo fatto al
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con k e ψ funzioni del posto. Mostrare che le linee di forza sono definite dall’equazione ψ = (x, y) = cost.
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Una forza, le cui componenti X, Y, Z siano ordinatamente funzioni della sola x, della sola y, e della sola z, è conservativa. Assegnarne il
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pur trattandosi in entrambi i casi di funzioni, che per x = 0 hanno un infinito di ordine non maggiore di 1.
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, approfittando della circostanza (n. 13) che per ogni distribuzione di volume, il potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite
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61 . Se riferiamo il vettore v(t) ad una terna cartesiana Ox yz le sue componenti X, Y, Z sono manifestamente funzioni di t; e se la funzione
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, abbiamo l'enunciato, in tutto conforme a quello che vale per le funzioni scalari: L’incremento Δv, subito da v nell’intervallo elementare dv
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è funzione di t pel tramite di altro parametro s = s(t), si ha (regola di derivazione delle funzioni composte)
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funzioni sferiche (di prima specie).
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, γ) = sono polinomi di grado n in γ, detti funzioni sferiche (di prima specie). . Essendo, per la (25)
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funzioni, che si mantengono finite anche quando s si faccia convergere a zero).
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63. Dalle considerazioni precedenti risulta come si possano estendere alle funzioni vettoriali i risultati formali del Calcolo differenziale.
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Accanto ai vettori funzioni dei punti di una linea, si devono spesso considerare quelli funzioni dei punti di una superficie o di una regione dello
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Come i vettori funzioni dei punti di una linea costituiscono una immagine geometrica delle funzioni (vettoriali) di un parametro, così, secondo l'uso
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Ne consegue in particolare la validità della regola di derivazione delle funzioni composte, cioè:
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funzioni conosciute di x, y, z le incognite del problema, se pel momento si prescinde dalle condizioni ai limiti, sono le quattro funzioni x(s), y(s), z(s
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I primi membri di queste r + s relazioni risultano, a calcoli fatti, funzioni lineari omogenee delle componenti d x i, d y i, d z i degli spostamenti
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Consideriamovi ψ come funzione dei due parametri ε e k. La regola di derivazione delle funzioni implicite ci dà
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dove al secondo membro compaiono certe tre funzioni del tempo, definite nell’intervallo da t 0 a t 1. In accordo con quei caratteri di determinatezza
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ove q 1, q 2,... , q n siano, a loro volta, funzioni date dal tempo
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In tal caso le componenti di v sono funzioni note dei quattro argomenti x, y, x e t, e si è condotti a cercare le terne di funzioni x, y, x di t, che
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(e tanto meno in termini finiti di funzioni elementari), bensì soltanto per sviluppi in serie. Ad ogni modo, sotto condizioni assai late per le
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Durante il moto, il raggio vettore ρ = OP e l’anomalia di P saranno funzioni ben determinate del tempo e le
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È bene ricordare che per un sistema di equazioni differenziali ordinarie simultanee in numero eguale a quello delle funzioni incognite, il quale sia
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Ciò premesso, ricordiamo che fra le funzioni (16) e (17) sussistono le note relazioni
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Accademia della crusca
