Trattandosi di funzione dispari, useremo la (58") e la (59"), che danno
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Per dimostrarlo introduciamo la funzione
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Questa funzione è rappresentata da una curva di andamento sinusoidale iscritta entro la curva
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La funzione coniugata di , cioè
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cioè: la parte spaziale, u, della funzione soddisfa la stessa equazione della . Poichè d'altra parte ciò che determina la distribuzione della
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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La funzione è riportata graficamente nella fig. 41 per gli stessi stati della fig. 40.
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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cioè in funzione degli integrali di fase Ji (che sostituiscono le f costanti di integrazione ). Si può poi dimostrare che le derivate parziali di
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Quello che abbiamo detto ora per una funzione di una variabile x, si può estendere senza difficoltà ad una funzione di p variabili , definita e
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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b) I simboli log, sin, cos, ecc. sono altrettanti operatori, che mutano la funzione f,...) nella funzione log f), sin f, ecc.
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indicare che l'operatore applicato alla funzione f la muta nella funzione F.
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, anche se k è a sua volta una funzione. In particolare, 1 è un operatore che muta ogni funzione in sè stessa, e dicesi identità.
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Applicando successivamente a una funzione un operatore e il suo inverso, le due operazioni si elidono e si ritrova la funzione primitiva.
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Passiamo ora a definire una funzione di più o. l. , , limitandoci (per semplicità di scrittura) al caso di due. Data una funzione sviluppabile di due
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Corollario del teorema precedente è che se è hermitiano, sono tali tutte le sue potenze, e quindi qualunque sua funzione analitica (a coefficienti
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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È evidente poi che, se la funzione F è invertibile (cioè se si può scrivere con G simbolo di funzione analitica), vale anche il reciproco di questo
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, assai comodo nei calcoli, chiamato spesso funzione di Dirac. Esso rappresenta una funzione che goda le proprietà seguenti:
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dove a, b sono due limiti qualunque , comprendenti tra loro lo 0. Non esiste una funzione propriamente detta che goda queste proprietà, e perciò la
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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Passiamo ora alla definizione di una funzione di più osservabili X, Y, Z, ... (relative allo stesso istante). Se queste sono compatibili tra loro, il
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Analogamente a quanto fu fatto per una sola particella, introdurremo una funzione (complessa)
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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Vogliamo ora stabilire delle altre importanti relazioni di permutazione. Sia una funzione delle sole q, e consideriamola come un operatore : si ha
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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(dove P è simbolo di funzione razionale intera e Q di funzione qualunque), ad essa corrisponderà una matrice per la quale varranno (in qualunque
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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e nella (26) la massa mdiviene funzione di v secondo la legge
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e deriviamo rispetto al tempo, considerando il vettore unitario tangenziale come funzione di funzione del tempo, mediante la s(t). Tenendo conto (I
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Per esprimere a ρ in funzione di ρ, Θ e delle loro derivate,
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Siffatti campi di forza, diconsi conservativi; e la funzione U (x, y, z) che noi supporremo uniforme, finita, continua e derivabile, almeno fino al
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Φ essendo funzione dei soli argomenti indicati.
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essendo Ί la funzione quadratica di α, β, γ definita dalla (16).
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È ben noto che si dice che una funzione f(Q) diventa infinita in un punto P di ordine non superiore ad m se, indicata con r la distanza di Q da P, la
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dove le c designano costanti [definite dalle (23) in funzione dei giratori principali].
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64. Supponiamo che ad ogni punto P di una linea l corrisponda un certo vettore, unico e determinato, v(P). Abbiamo così un vettore funzione dei punti
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di questo punto funzione dell’arco s.
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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Il primo membro della (8) è una funzione
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quantità sempre positiva, dacché supponiamo r> ρ. La Ψ(ψ) è dunque funzione crescente.
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dove, ricordiamolo, ε, k sono definiti dalle (9), in funzione dei dati della questione, sotto la forma
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cioè lo spazio s è una funzione lineare del tempo.
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Questo vettore P(t), quando il punto P si risguardi come funzione di funzione del tempo mediante l'ascissa curvilinea s, si può scrivere
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dove la funzione H (q 1, q 2, ..., q f, p 1, p 2, ..., p f), detta funzione di Hamilton, o semplicemente Hamiltoniana, s'identifica, per il caso dei
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dove F è il simbolo di una funzione universale.
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Accademia della crusca
