Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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Ai vettori dello spazio funzionale si trasportano immediatamente le consuete definizioni di somma e differenza, nonchè di prodotto di un vettore per
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monodroma entro un certo campo S (eventualmente infinito): lo spazio funzionale avrà in questo caso dimensioni, ed ogni suo asse sarà denominato mediante
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Se poi è dato un certo numero n di vettori nello spazio funzionale , tutti i vettori ottenibili da essi mediante una combinazione lineare a
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quelle funzioni f, per le quali l'integrale (3) è convergente (funzioni a quadrato sommabile), cioè solo quei punti dello spazio funzionale per i quali la
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dimensioni, e non una infinità continua, come lo spazio funzionale di cui è una parte.
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Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che un operatore definisce una corrispondenza tra punti (o tra vettori) dello spazio funzionale
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Nello spazio funzionale un o. l. stabilisce una corrispondenza tra vettori, che è la naturale generalizzazione di una omografia vettoriale
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: tuttavia la (6) esprime sempre, in forma implicita, una condizione (di tipo funzionale) per i detti coefficienti. Analogamente si può ragionare nel
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sotto la sola condizione che il determinante funzionale
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Accademia della crusca
