si ottiene per la velocità areolare in coordinate cartesiane (rispetto all’origine) l'espressione
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’espressione
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sostituiamo questa espressione di nella derivata della prima delle (42)
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In quest’ultima espressione di il secondo fattore per ogni t finito è sempre diverso da zero (e positivo) e il primo fattore, in quanto la sua
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e dalla espressione dell’integrale generale
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e di qui risulta per l’accelerazione radiale l’espressione
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e, sostituendo quest’espressione di nella (56) ed eliminando ancora una volta mediante la (58), perveniamo all’annunciata espressione dell
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11. Dalla espressione caratteristica (10) della velocità di un punto generico si trae, derivando rispetto a t, l'espressione della accelerazione
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Dalla (15) si può, in infiniti modi, dedurre per la velocità del punto generico P, nel dato moto rototraslatorio, un’altra espressione che, come
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30. Distribuzione delle accelerazioni in un sistema rigido in moto. – L’espressione vettoriale di tale distribuzione si otterrà derivando rispetto a
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Ciò premesso, derivando la (2) rispetto a t, si deduce per la velocità assoluta l'espressione
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3. Una ulteriore derivazione della (3) rispetto al tempo fornisce per l’accelerazione assoluta l’espressione
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dove la velocità (costante) v 0 di O ha la stessa direzione della velocità angolare. Di qui per la velocità assoluta risulta l'espressione
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Invero, mentre l’espressione della velocità (10) del n. 9 del Cap. III, cioè la
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traduce semplicemente la decomponibilità del moto in un moto traslatorio e in uno rotatorio, l’altra espressione che dicemmo ottenuta per
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30. Ciò posto, si ha immediatamente l’espressione delle coordinate ξ, η del punto P, in una generica posizione di l (e quindi la rappresentazione
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e basta aggiungere e togliere X 1 X 2 X 3 e tener conto della (17) del n. 20 per dare a codesta espressione la forma
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mentre, per β comunque variabile, converrebbe scrivere Ad ogni modo, confrontando colla precedente espressione di r, si ha
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donde, con una quadratura, si ottiene l’espressione di ζ' in termini di ζ, eliminando fra tale espressione e la (15), si perviene alla cercata
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un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti, l’espressione generale
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Quanto, infine, alla accelerazione complementare a t, se si tien conto della sua espressione (Cap. IV, n. 3)
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che, ove si designi con v la velocità del moto (2) e si tenga conto della espressione dP = v dt dello spostamento elementare, si può esprimere nella
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Un lavoro L (somma di prodotti di forze per lunghezze) sarà un’espressione omogenea del tipo:
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le quali si deducono dalle equazioni stabilite al n. prec., sostituendovi al posto del simbolo m della massa la sua espressione (17).
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L’espressione di s 3 può dunque essere scritta e
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analogamente si ha l’espressione:
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) si può subito attribuirgli l’espressione
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Non sarà male osservare che si giunge evidentemente alla stessa espressione, anche scambiando l’ufficio dei due punti P e Q.
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Questa espressione compete in particolare all’ attrazione di una sfera piena (a strati omogenei concentrici) nei punti esterni, m seguitando a
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Ne viene, per la cercata espressione del potenziale nei punti interni alla crosta potenziante, l'espressione
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È appena necessario osservare che, per ρ = K 1, ove si tenga conto che la massa totale m della crosta vale l’espressione (14) può essere scritta
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Portiamo questo valore di nell’espressione del potenziale
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Portiamo questa espressione di Ί nella (21') e teniamo presente la relazione
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Supposto per semplicità che gli assi x, y, z, sieno assi principali di inerzia per l’origine O, l’espressione di Ί (Cap. prec., n. 24) si riduce a
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terz’ordine, si è condotti all’espressione:
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nell'espressione del potenziale. Essa è
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Al potenziale di un segmento omogeneo AB in un punto P (esterno al segmento) si può attribuire l’espressione
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minore specificazione nell’espressione del resto).
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talché si ottiene per la componente v r, di v secondo la r l’espressione
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donde l’espressione approssimata
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Quanto alla tensione, si deduce dalla (33), tenendo conto della (31'), l’espressione approssimata
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Qual è l’espressione della tensione in un punto generico?
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Possiamo anche dire che questa espressione, presa in valore assoluto, misura il tratto di filo che, nel considerato spostamento virtuale del sistema
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L’espressione del lavoro virtuale può così essere scritta
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È assai facile completarle con un’analoga espressione di
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esse bastano a riconoscere che ogni sollecitazione siffatta rientra nella espressione (19) del n. 31.
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Infatti l’ipotesi (1) equivale ad a a = a τ od anche sostituendo ad a a la sua espressione fornita, dal teorema del Coriolis, ad.
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Non c’è che da sostituire a T* la sua espressione (13) per ricavarne la relazione
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Si mostri che, derivando rapporto ad s la formula p = - ρ x n si ricava la notevole espressione del raggio di curvatura
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Questa espressione di v 2 mette in luce una decomposizione della velocità vettoriale in due componenti fra loro ortogonali, che qui convien definire
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Accademia della crusca
