È opportuno spesso considerare un autovalore doppio (radice doppia dell'equazione
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Illustreremo le cose dette sulla seguente equazione (ben nota in meccanica, e detta «equazione dei moti armonici») di cui dovremmo occuparci nel
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Ammetteremo poi che la soddisfi una equazione differenziale analoga alla (106), e cioè Questa equazione vale, a rigore, solo per onde «monocromatiche
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
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e la soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Essa poi soddisfa l'equazione di Schrödinger
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che chiameremo equazione temporale di Schrödinger.
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Eliminando En tra la (134) e la (135) si ottiene l'equazione
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Ciò premesso, nel nostro caso la (131') diviene l'equazione a derivate ordinarie
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La (145) è un'equazione del tipo
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che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
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l'equazione si scrive
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e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
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La discussione dell'equazione (183') si può fare nel modo seguente. Si osservi anzitutto che i suoi coefficienti sono finiti per tutti i valori
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e poi dividere tutta l'equazione per , con che essa diviene
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Cerchiamo di integrare questa equazione con una serie della forma
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Sostituendo la (185) nella (183') si trova per v l' equazione
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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Sostituendo nell'equazione precedente e moltiplicandola tutta per si ottiene
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con che l'equazione si spezza nelle due
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Gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione si studiano con un metodo analogo a quello seguito nel § 39 per l'oscillatore: punti singolari
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Sostituendo la (233) nella (232) si trova per P l'equazione
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l'equazione si scrive
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con che l'equazione assume la forma
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Si è condotti per v all'equazione
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Polinomi generalizzati di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277), si ottiene
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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Si osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa si identifica con l'equazione (281) dei polinomi generalizzati di Laguerre, purchè si prenda
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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con la soddisfacente l'equazione
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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si verifica subito che la , prodotto di tutte le , soddisfa l'equazione
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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e l'equazione secolare da risolvere diviene
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Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
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e soddisfano l'equazione
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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seguente equazione, che dovrebbe rappresentare l'estensione relativistica dell'equazione di Schrödinger
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La parentesi quadra al secondo membro di questa equazione si identifica con l'operatore della (244), e quindi questa equazione coincide con quella
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Così l'equazione diviene
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Questa equazione vincola i valori, nei punti a e b, dei due integrali fondamentali y1,y2 , e naturalmente si ottiene un'equazione della stessa forma
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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e si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si può scrivere
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Accademia della crusca
