Da questa equazione si ricava
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Da questa equazione e dalla precedente si ricava
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
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e la soddisfa l'equazione di Schrödinger
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che chiameremo equazione temporale di Schrödinger.
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l'equazione si scrive
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e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
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La discussione dell'equazione (183') si può fare nel modo seguente. Si osservi anzitutto che i suoi coefficienti sono finiti per tutti i valori
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e poi dividere tutta l'equazione per , con che essa diviene
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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Sostituendo nell'equazione precedente e moltiplicandola tutta per si ottiene
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Gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione si studiano con un metodo analogo a quello seguito nel § 39 per l'oscillatore: punti singolari
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l'equazione si scrive
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con che l'equazione assume la forma
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Si è condotti per v all'equazione
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con la soddisfacente l'equazione
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
Pagina 343
Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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e l'equazione secolare da risolvere diviene
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e soddisfano l'equazione
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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La parentesi quadra al secondo membro di questa equazione si identifica con l'operatore della (244), e quindi questa equazione coincide con quella
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Così l'equazione diviene
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Questa equazione vincola i valori, nei punti a e b, dei due integrali fondamentali y1,y2 , e naturalmente si ottiene un'equazione della stessa forma
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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onde l’equazione della traiettoria assumerà la forma
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Ma dal Calcolo sappiamo che un’equazione differenziale del 2° ordine ammette precisamente ∞2 soluzioni o integrali particolari,ossia che l'integrale
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Otteniamo così la equazione lineare a coefficienti costanti
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e quindi la (49') si trasformi nella equazione
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cosicché alla equazione precedente si potrà dar la forma
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si ottiene, sostituendo nella (29), l'equazione vettoriale
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L’equazione
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Suppongasi λ individuata mediante la sua equazione in coordinate polari
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che derivata rispetto a t dà l'equazione
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13. Come immediata conseguenza dell’equazione
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ed n 1, n 2, n 3 si chiamano le dimensioni di Q; mentre l'equazione simbolica testé scritta dicesi equazione delle dimensioni della grandezza Q.
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Ne consegue l’equazione
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onde, si ricava subito per il potenziale U l’equazione
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L’equazione (1) si suol scrivere compendiosamente
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[La latitudine λ del parallelo in questione verifica l'equazione ].
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Comunque, prendendo l’equazione del piano sotto la forma
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l’equazione (31) della catenaria si riduce a
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Ora se applichiamo al sistema S 1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un siffatto spostamento DP i (e, come si è detto, alla
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Più in generale dimostrare che se ρ = ρ(ϑ) è l’equazione di una curva piana in coordinate polari, l’equazione geometrica
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Queste equazioni si possono raccogliere nell’unica equazione vettoriale
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Sottraendo membro a membro questa equazione dalla (14), otteniamo
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differenziando la seconda si avrebbe un'altra equazione
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Accademia della crusca
