Da questa equazione si ricava
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Da questa equazione e dalla precedente si ricava
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Illustreremo le cose dette sulla seguente equazione (ben nota in meccanica, e detta «equazione dei moti armonici») di cui dovremmo occuparci nel
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
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e la soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Essa poi soddisfa l'equazione di Schrödinger
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che chiameremo equazione temporale di Schrödinger.
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La (145) è un'equazione del tipo
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l'equazione si scrive
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La discussione dell'equazione (183') si può fare nel modo seguente. Si osservi anzitutto che i suoi coefficienti sono finiti per tutti i valori
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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con che l'equazione si spezza nelle due
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l'equazione si scrive
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con che l'equazione assume la forma
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Si è condotti per v all'equazione
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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Si osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa si identifica con l'equazione (281) dei polinomi generalizzati di Laguerre, purchè si prenda
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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con la soddisfacente l'equazione
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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e l'equazione secolare da risolvere diviene
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e soddisfano l'equazione
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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seguente equazione, che dovrebbe rappresentare l'estensione relativistica dell'equazione di Schrödinger
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La parentesi quadra al secondo membro di questa equazione si identifica con l'operatore della (244), e quindi questa equazione coincide con quella
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Così l'equazione diviene
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Questa equazione vincola i valori, nei punti a e b, dei due integrali fondamentali y1,y2 , e naturalmente si ottiene un'equazione della stessa forma
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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Integrando la (23) otteniamo l ’ equazione oraria del moto
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onde l’equazione della traiettoria assumerà la forma
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Otteniamo così la equazione lineare a coefficienti costanti
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e questa equazione oraria, mentre per h > 0 o h = 0 si identifica con quella già nota dei moti oscillatori smorzati o, rispettivamente, dei moti
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si ottiene, sostituendo nella (29), l'equazione vettoriale
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onde, confrontando colla equazione precedente, si conclude
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L’equazione
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che derivata rispetto a t dà l'equazione
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13. Come immediata conseguenza dell’equazione
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ed n 1, n 2, n 3 si chiamano le dimensioni di Q; mentre l'equazione simbolica testé scritta dicesi equazione delle dimensioni della grandezza Q.
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Ne consegue l’equazione
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L’equazione (1) si suol scrivere compendiosamente
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l’equazione (31) della catenaria si riduce a
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e si chiama l'equazione simbolica della Statica.
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Ora se applichiamo al sistema S 1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un siffatto spostamento DP i (e, come si è detto, alla
Pagina 683
Più in generale dimostrare che se ρ = ρ(ϑ) è l’equazione di una curva piana in coordinate polari, l’equazione geometrica
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Riprendendo l’equazione del moto di un punto P
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differenziando la seconda si avrebbe un'altra equazione
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Accademia della crusca
