Se il corpuscolo parte dall'origine O delle coordinate avendo velocità v parallela all'asse delle x, si ha dalle note formule del moto uniformemente
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L'equazione di Schrodinger (127), esplicitando l'operatore in coordinate polari, si scrive
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Introducendo le coordinate polari si ha evidentemente
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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Poichè un sistema meccanico può riferirsi a infiniti sistemi di coordinate lagrangiane, sorge la questione: se invece del sistema delle q, si adotta
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b) Condizioni di Sommerfeld. - Osserviamo che il sistema è doppiamente degenere (poichè le tre coordinate variano tutte con lo stesso periodo). Per
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semplice adottando come coordinate lagrangiane del sistema le coordinate polari del nucleo rispetto al baricentro (), e le coordinate polari
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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Siano le coordinate del nucleo, quelle dell'elettrone (rispetto ad assi fissi qualunque) e siano i momenti rispettivamente coniugati a queste
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e le tre coordinate dell'elettrone rispetto al nucleo
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Esprimiamo questo operatore, invece che con le sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
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che, espresso in coordinate polari, si scrive:
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In coordinate cartesiane invece è e l'operatore corrispondente è, come è ben noto,
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Si rammenti ora che l'operatore di LAPLACE in coordinate polari è espresso da
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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si ottiene per la velocità areolare in coordinate cartesiane (rispetto all’origine) l'espressione
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e le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
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cioè ad intervalli di tempo le coordinate di P cambiano segno
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Ciò posto, denotando con ξ, η le coordinate del punto generico dell’odografo, si trova
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Designando con ξ, η, ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k rispetto
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cambiamento, puramente geometrico, di coordinate, la velocità e l’accelerazione di ogni singolo punto restano intrinsecamente invariate, in quanto le
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A tale scopo si osservi che se il vettore unitario u si immagina applicato nell’origine O, il suo estremo libero P (di coordinate u x, u v, u z) si
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ossia, in coordinate polari (Cap. II n, 20)
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Riportandoci per un momento ai nn. 29, 30, riconosciamo subito che le espressioni parametriche delle coordinate ξ', η' di P' (riferite agli stessi
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Suppongasi λ individuata mediante la sua equazione in coordinate polari
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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Solitamente, parlando di coordinate lagrangiane di un sistema olonomo si intende riferirsi a coordinate tutte essenziali, cioè in numero uguale ai
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cui si dà così luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane.
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8. Coordinate lagrangiane sovrabbondanti. - Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane (indipendenti) q l, q 2,... , q n, e perciò avente n
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' codeste coordinate q h , le quali, per altro, non andranno più considerate indipendenti, bensì legate fra loro, istante per istante, dalle equazioni (4
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Se un sistema olonomo di N punti è riferito a certe n coordinate lagrangiane indipendenti
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le l ' equazioni indipendenti che legano le coordinate q h , sulla generica configurazione C relativa all’istante t, dovranno soddisfare alle stesse
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Se, in particolare, si assumono come coordinate sovrabbondanti pel sistema le coordinate cartesiane dei suoi punti e le equazioni dei vincoli sono
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per un punto vincolato a non uscire dal triedro delle coordinate positive (o nulle).
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dove le variazioni δq h delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
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Nel caso particolare, in cui pel sistema si assumano come coordinate lagrangiane le coordinate cartesiane dei suoi singoli punti, gli spostamenti
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Immaginando sostituite alle coordinate x, y, z le così dette coordinate cilindriche ρ, ζ, z, essendo ρ e ζ nient’altro che coordinate polari rispetto
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Rispetto ad un generico sistema di coordinate coll’origine in O, si ha
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La R non è altro che la coordinate y = f(z) della curva meridiana, sicché risulta
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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con formule analoghe relative alle altre coordinate e, più generalmente, a derivazioni ripetute. Ne segue in particolare
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29. Al n. 25 abbiamo determinato le condizioni di equilibrio di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti. Si può chiedere
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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e se si sceglie un punto fisso qualsivoglia, p. es. l'origine O delle coordinate, si ha
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§ 4.- Moti piani in coordinate polari .
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si potran dire le equazioni del moto in coordinate polari.
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Il numero delle molecole le cui coordinate e i cui momenti sono rispettivamente comprese negl'intervalli
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Accademia della crusca
