La tabella dei coefficienti può essere sottoposta a revisione nel penultimo esercizio del quinquennio dalla Commissione centrale delle ricevitorie
Nel caso di coefficienti reali, queste non sono altro che le relazioni caratteristiche che intercedono, in geometria analitica, tra i coefficienti
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e si trova immediatamente che, affinchè y1, y2risultino ortogonali e normalizzate, i coefficienti devono essere soggetti alle restrizioni
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scegliere i coefficienti α,β in modo che risulti
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Per tale ragione, una sostituzione lineare i cui coefficienti soddisfano le (19) si chiama una sostituzione ortogonale.
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Questo procedimento, come si vede, non è che una generalizzazione del noto procedimento che serve a determinare i coefficienti dello sviluppo di
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e la (32) dà per i coefficienti l' espressione
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I coefficienti c1 e c2 sono dati dalla (50) e da essi si trova
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Nei §§ precedenti si è sempre supposto che i coefficienti dell'equazione differenziale fossero regolari entro tutto l'intervallo considerato
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coefficienti P, Q diventa infinito, ma tuttavia di ordine non superiore al 1° per P, e al 2° per Q, cosicchè l'equazione si possa scrivere
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Sostituendo l'espressione (86) nell'equazione (85), e uguagliando a zero i coefficienti delle singole potenze di , si determinano formalmente i
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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Perchè questa sia identicamente soddisfatta, devono annullarsi tutti i coefficienti, il che dà per le la formula ricorrente
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Ora si può dimostrare facilmente che in generale queste due serie hanno per delle singolarità essenziali: solo nel caso che uno dei coefficienti, p
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(i coefficienti della seconda sommatoria sono i coniugati di quelli della prima, cosicchè la y risulta reale): si verifica facilmente che le serie
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dove ,... sono funzioni di x che si determinano formalmente sostituendo la Y nella (294) in luogo di y ed uguagliando nei due membri i coefficienti
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dove i coefficienti sono funzioni di . A ciascuno di questi coefficienti possiamo ora applicare lo stesso procedimento, considerandolo funzione della
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dove i coefficienti dipendono da .
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dove con e si sono indicati i coefficienti
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, mentre per lo spettro classico si sanno ricavare dai coefficienti dello sviluppo di Fourier, sono indeterminati nella teoria quantistica di Sommerfeld
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coefficienti (costanti) arbitrari
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lineari (22), i cui coefficienti sono le . Basta quindi la conoscenza di questi coefficienti per permettere di ricavare da ogni f il corrispondente
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I coefficienti costituiscono una doppia infinità (discreta) di numeri (generalmente complessi), che si possono disporre in uno specchio (matrice) di
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Corollario del teorema precedente è che se è hermitiano, sono tali tutte le sue potenze, e quindi qualunque sua funzione analitica (a coefficienti
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con i coefficienti c arbitrari. Naturalmente, alle si possono sostituire p loro combinazioni lineari, ortogonali tra loro (ciò si dimostra come al
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coefficienti arbitrari) delle autofunzioni fondamentali .
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ed essendo F una funzione arbitraria, i coefficienti si debbono riguardare come numeri del tutto arbitrari: ne segue che la (63) non può sussistere
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e che tali elementi sono i coefficienti della sostituzione lineare che fa passare dalle componenti di un qualsiasi vettore f alle componenti di ossia
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dove le sono coefficienti costanti che nel loro insieme definiscono l'effetto della perturbazione su . Sostituendo questa espressione nella (170) e
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Ora, affinchè il sistema ammetta soluzioni non tutte nulle, bisogna che si annulli il determinante dei coefficienti, ossia dovrà essere
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che si esprime dicendo che esse formano i coefficienti di una «sostituzione ortogonale».
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dove i coefficienti , (piccoli del primo ordine) sono legati ai dalle relazioni lineari seguenti, che si trovano subito usando la (190),
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dove i coefficienti in generale saranno funzioni di t. Sostituendo questo sviluppo nella (220') (e indicando, come faremo sempre, col punto la
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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Prima di procedere alla determinazione dei coefficienti della (258), cioè delle quattro matrici , conviene procurarsi le espressioni della densità
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dove i coefficienti sono vincolati dalle relazioni
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lasciando i coefficienti per ora indeterminati: più brevemente scriveremo, indicando con S la matrice i cui elementi sono
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Sostituendo queste espressioni nelle (346) e annullando intanto i coefficienti di , si trova
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e, annullando il determinante dei coefficienti di queste due equazioni lineari in , si trova per l'equazione
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Normalizzando e si trova che il modulo di questi coefficienti deve essere , cosicchè si può scrivere
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dove i coefficienti sono ricavati dalle (185'), che nel caso attuale si scrivono, prendendo k = 1 (per k = 2 si avrebbe un sistema equivalente):
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delle soluzioni di approssimazione zero (380): in altre parole, la nostra si può considerare una combinazione lineare, a coefficienti lentamente
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è una delle radici ottenute eguagliando a zero il determinante dei coefficienti, e l'autofunzione appartiene all'autovalore
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dove i coefficienti sono ottenuti (v. § 39) mediante i quattro sistemi di equazioni lineari:
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i coefficienti c contenuti in queste formule restando arbitrari, salvo le condizioni di normalizzazione. Tenendo conto della (392') e delle (396), e
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dove i coefficienti A, B, C sono funzioni analitiche della x, che supporremo reali per x reale. Poichè A è da supporsi non identicamente nulla, si
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Se si sanno esprimere esplicitamente y1(x), y2(x) in funzione dei coefficienti della equazione, la (6) assume immediatamente l'aspetto di una
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i tre coefficienti A, B, C divengono rispettivamente
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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Quest'ultima sarà soddisfatta anche da , complessa coniugata di ym(essendo i coefficienti reali), cioè sarà
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Accademia della crusca
