Difatti, una prima coppia di autofunzioni ortogonali può essere costituita dalla Y1 stessa e da una opportuna combinazione lineare : basterà
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Potremo dunque dire che ad un autovalore doppio corrispondono infinite coppie di autofunzioni normalizzate ed ortogonali tra loro (oltrechè con le
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che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn (difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito
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Fourier, il quale difatti non è che un caso particolare di sviluppo in serie di funzioni ortogonali, e precisamente nelle autofunzioni della (21) relative
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che non è altro che la relazione di completezza delle autofunzioni in questione.
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Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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§ 8, caso β. Se si parte da uno degli autovalori (28') e dalle corrispondenti autofunzioni (29), e si fa tendere l ad [simbolo eliminato] , si vede
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Similmente si imporrà alle autofunzioni la condizione di normalizzazione:
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formano (se la regione S ha estensione finita) una infinità numerabile. A ciascuno di essi corrispondono una o più autofunzioni indipendenti ui(x,y), (se
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In questa formula, rappresentano tre integrali in cui entrano le autofunzioni dei due stati stazionari, iniziale e finale, e precisamente
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A questi corrispondono le autofunzioni (normalizzate) date dalla (25), cioè
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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Essi costituiscono (essendo autofunzioni della (238)) un sistema di funzioni ortogonali nell'intervallo (— 1, + 1): non sono però normalizzati
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Riassumendo, ad ogni autovalore della (223') corrispondono autofunzioni (con ), date dalle (226), (229'), (243), cioè da
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Osserviamo che due autofunzioni corrispondenti a valori di m uguali e di segno contrario differiscono solo per il segno dell'esponente e quindi sono
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(l) Si noti che questa definizione coincide con quella già data a 1 § 4 p. II per le autofunzioni normalizzate.
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Consideriamo ora, oltre alle autofunzioni definite dall'equazione (7), un altro sistema completo di autofunzioni (1) È superfluo avvertire che
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In generale, chiameremo autovalori dell'o. l. i numeri An e autofunzioni le funzioni tali che
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Se poi An è un autovalore multiplo, a cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha
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coefficienti arbitrari) delle autofunzioni fondamentali .
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e sia un sistema completo di autofunzioni , per cui
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Condizione necessaria e sufficiente perchè due o. l. e ammettano un sistema completo di autofunzioni (e quindi di assi principali) in comune, è che
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autofunzioni ortogonali e indipendenti che ad esso appartengono (i cui vettori formano una varietà piana V a p dimensioni): ma per una sola di queste
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completo di autofunzioni comuni ad e .
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come mostra la (73). Inoltre le autofunzioni sono ortogonali e normalizzate perchè (v. § 10, p. II) detti due intervalli infinitesimi, si ha, come si
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Donde la regola: «per avere la probabilità , si calcolano le autofunzioni dell'operatore nello spazio delle funzioni della sola x, e si sviluppa la
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Ricerchiamo ora le autofunzioni e gli autovalori di questi operatori. Prendiamo p. es. : osserviamo che, se si introducono coordinate polari , con
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intendere che K rappresenta una osservabile massima, ossia un gruppo completo di osservabili (v. § 18) e le sono le autofunzioni comuni a tutti i loro
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Proseguendo in modo analogo si calcolerebbero le autofunzioni di seconda approssimazione, e mediante queste la terza approssimazione di , e così via
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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Per chiarire la cosa con un esempio, cerchiamo gli autovalori e le autofunzioni dell'operatore , definito da (288), ossia dall'ultima delle (289
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altre. Applicando successivamente questo processo a tutte le autofunzioni (361), si riesce a sostituire queste con altrettante autofunzioni
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Se per ogni eventuale autovalore multiplo il sistema fondamentale di autofunzioni viene scelto nel modo descritto, si ottiene un sistema completo di
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(1) Lo studio generale delle proprietà di simmetria delle autofunzioni di particelle è stato fatto coi metodi della teoria dei gruppi da E. WIGNER
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Ricerchiamo ora le autofunzioni di approssimazione zero corrispondenti a questi autovalori: esse sono date (v. § 39) da:
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e similmente con le autofunzioni di spin:
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Ora formiamo con le autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica la seconda:
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Ciò premesso, le due autofunzioni di approssimazione zero, simmetrica e antisimmetrica, (381), (381'), si scrivono ora, tenuto conto della (387):
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cui corrispondono altrettante autofunzioni simmetriche del tipo (392), che indicheremo rispettivamente con , e altrettante antisimmetriche del tipo
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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Le tre prime autofunzioni corrispondono (nella nostra approssimazione) all'autovalore
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Questo non è altro che l'integrale di scambio definito al § precedente, fatto però tenendo conto solo delle autofunzioni in x, y, z, senza i fattori
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§ 4. — NORMALIZZAZIONE DELLE AUTOFUNZIONI.
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Dimostreremo ora una proprietà fondamentale delle autofunzioni.
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Consideriamo due autofunzioni yn, ym, della (14), relative alle condizioni (α), ed appartenenti a due distinti autovalori λn, λm: esse soddisferanno
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ad un autovalore corrispondano due autofunzioni linearmente indipendenti, nel qual caso l'autovalore si dirà doppio e si dirà, con locuzione divenuta
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Tale relazione, di tipo integrale, tra le due autofunzioni yn, ym, si chiama (per un motivo che verrà spiegato al cap.I, parte III) relazione di
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Accademia della crusca
