L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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Condizioni (α): debba essere (1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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Consideriamo la successione delle infinite autofunzioni normalizzate e ortogonali tra loro, y1, y2..., corrispondenti agli autovalori dell'equazione
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alle condizioni agli estremi (β). Difatti, prendendo tali autofunzioni nella forma (30) ed incorporando nei coefficienti (che denoteremo con an e bn
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Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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stesse considerazioni nel linguaggio corrispondente agli altri tipi di fenomeni ondulatori.
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ben noto, si possono in molti casi applicare con successo (almeno entro i limiti degli errori di osservazione) agli elettroni, agli atomi, ecc
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analoghi agli elettroni negativi, salvo il segno della carica).
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limitato di retta AB, rimbalzando elasticamente agli estremi. Ricerchiamo anche qui, innanzi tutto, le soluzioni semplici (cioè con E determinato).
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AB, imponendo la condizione che essa debba annullarsi agli estremi.
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, sarebbe del pari insormontabile agli elettroni. Ma invece, come si è visto nel § precedente, la meccanica ondulatoria consente ad alcuni degli
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. Poichè nel caso nostro x va da —1 a + 1, ci interessano solo le singolarità agli estremi di questo intervallo: col metodo dell'equazione caratteristica
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e cioè si aggiunge, agli n quanti , una quantità fissa di energia della quale l'oscillatore non può mai privarsi (« energia dello stato zero»). Lo
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di Schrödinger corrispondente agli elettroni del nocciolo è tale che , cioè la densità media di carica elettrica, è indipendente dal tempo ed a
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rispetto agli , per il che questi necessariamente debbono essere grandi) le frequenze vi si avvicinano molto alle frequenze corrispondenti allo stato
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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Siamo stati così condotti a considerare, nello spazio hilbertiano, oltre al primitivo sistema di assi corrispondenti agli infiniti valori di x (che
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Vogliamo ora cercare che relazione intercede tra le componenti del vettore f rispetto ai nuovi e agli antichi assi, cioè tra le e le . Cominciamo
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con le stesse condizioni agli estremi): esse definiranno un altro sistema di assi ortogonali, individuati dai versori. Rispetto a questi assi il
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componenti dei versori y rispetto agli assi : le indicheremo con ponendo
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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annulla agli estremi)
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rappresenta l'o. l. rispetto a questi assi: designeremo questa matrice con , mentre seguiteremo a indicare con la matrice che rappresenta rispetto agli assi
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autofunzioni sono sostituite dalla ( indice continuo), ogni vettore f nello spazio hilbertiano è rappresentato, rispetto agli assi invece che dalle
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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Come applicazione dei §§ precedenti, consideriamo le tre osservabili , momenti dell'impulso (o momenti angolari) di una particella rispetto agli assi
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anzitutto che e , per il significato dato loro più sopra, non sono altro che le autofunzioni dell'operatore , corrispondenti rispettivamente agli
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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), partendo da , si giunge agli stessi valori per e j come partendo da : la soluzione considerata dunque non è fisicamente diversa dalla precedente. Si può
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In molti casi, in un sistema con due elettroni le forze dovute agli spin sono trascurabili in prima approssimazione. Formalmente, ciò significa che
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Si osservi ora che, poichè trascuriamo le forze dovute agli spin, gli autovalori risultano indipendenti dai numeri quantici di spin , dipendendo solo
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(2) Se si tien conto delle forze dovute agli spin, questo livello triplo si scinde a sua volta in tre livelli semplici, eccettuato il caso che
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Il livello primitivo , si scinde dunque, in generale, in un livello triplo (2) Se si tien conto delle forze dovute agli spin, questo livello triplo
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si fa oggi con criteri diversi da quello di Bohr. Ma noi rimandiamo a più oltre queste considerazioni per accennare ora agli altri fatti sperimentali
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ipotesi agli spin paralleli, i semplici agli spin antiparalleli: per , essendo , mancherebbe lo stato semplice anzichè quello triplo. Come si dirà al
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, in volt, necessaria a conferire agli elettroni tale energia: si parla quindi di «potenziale di risonanza », «potenziale di eccitazione
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Accenneremo infine al fatto che i metodi di interpretazione degli spettri atomici sono stati estesi con successo agli spettri emessi dalle molecole
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condizioni agli estremi. A noi interessano sopratutto i due tipi seguenti di condizioni agli estremi:
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Osservazione.- Nel ragionamento precedente si è supposta la y reale, ma si può osservare che ogni soluzione complessa della (1) che soddisfi agli
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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della proposta equazione differenziale soddisfacenti le volute condizioni agli estremi(α) o (β). A tale scopo bisognerà che λ sia una radice
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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La stessa proprietà vale evidentemente anche se le condizioni agli estremi sono le (β), purchè il coefficiente P assuma gli stessi valori in a e b.
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ortogonalità: si dirà dunque che: due autofunzioni della (14) soggette ad annullarsi agli estremi, ed appartenenti ad autovalori diversi, sono ortogonali.
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volume dello spazio delle fasi complessivo corrispondente agli stati predetti. Un calcolo elementare dimostra che questo è a sua volta proporzionale a:
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Accademia della crusca
