L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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Condizioni (α): debba essere (1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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Consideriamo la successione delle infinite autofunzioni normalizzate e ortogonali tra loro, y1, y2..., corrispondenti agli autovalori dell'equazione
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Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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analoghi agli elettroni negativi, salvo il segno della carica).
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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Vogliamo ora cercare che relazione intercede tra le componenti del vettore f rispetto ai nuovi e agli antichi assi, cioè tra le e le . Cominciamo
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componenti dei versori y rispetto agli assi : le indicheremo con ponendo
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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annulla agli estremi)
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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Come applicazione dei §§ precedenti, consideriamo le tre osservabili , momenti dell'impulso (o momenti angolari) di una particella rispetto agli assi
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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Si osservi ora che, poichè trascuriamo le forze dovute agli spin, gli autovalori risultano indipendenti dai numeri quantici di spin , dipendendo solo
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(2) Se si tien conto delle forze dovute agli spin, questo livello triplo si scinde a sua volta in tre livelli semplici, eccettuato il caso che
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ipotesi agli spin paralleli, i semplici agli spin antiparalleli: per , essendo , mancherebbe lo stato semplice anzichè quello triplo. Come si dirà al
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Osservazione.- Nel ragionamento precedente si è supposta la y reale, ma si può osservare che ogni soluzione complessa della (1) che soddisfi agli
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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La stessa proprietà vale evidentemente anche se le condizioni agli estremi sono le (β), purchè il coefficiente P assuma gli stessi valori in a e b.
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che si ottiene esprimendo che il vettore P - O ha rispetto agli assi mobili le componenti costanti x, y e x (Cap. I, n. 18).
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Considerando, per fissar le idee, la notiamo che, in quanto le sue componenti rispetto agli assi mobili sono esprimibili sotto la forma (Cap. I, n
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agli atti di moto rigido.
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t, con riferimento agli assi fissi, l'equazione (26) del n. 22. Si perviene così alla
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Scrivendo prima, le componenti rispetto agli assi Ωξηζ, poi quelle rispetto agli assi Ωx yz, si ha per k
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rispetto agli assi mobili e quella di τ rispetto agli assi fissi coincidono, talché l'annullarsi dell’una implica l'annullarsi dell’altra.
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Questo problema si presenta sotto due diversi aspetti, secondo che i vettori v 0 ed ω si suppongono assegnati (in funzione del tempo) rispetto agli
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la quale, ove si designi con ω la velocità angolare del solido e con la la derivata con riferimento agli assi mobili, assume la forma
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cui si riduce la (13) del n. 10, nel caso presente della invariabilità di u rispetto agli assi mobili.
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Se φ è l'angolo (a priori arbitrario) di cui sono deviati (in senso diretto, cioè nel senso delle anomalie crescenti) gli assi generici rispetto agli
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, queste si risguardano situate in un medesimo piano perpendicolare agli alberi.
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Se invece ci riferiamo agli assi mobili, le componenti vx, vy della velocità v saranno date da
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Perciò noi attribuiamo alle forze in generale (come agli sforzi muscolari, che, soggettivamente parlando, ne costituiscono il tipo) il carattere di
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Dati (con evidente significato delle lettere) due moti uniformi le velocità (intese come attitudini) vanno raffrontate, badando agli spazi percorsi
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Giova rilevare in modo esplicito, per usarne senz’altro a suo tempo, che quando si riferisce un sistema S agli assi principali d’inerzia, passanti
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26. I momenti d’inerzia di un’ellisse omogenea rispetto agli assi sono
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che rispetto agli assi principali di inerzia assume la forma (21''). In ultima analisi, per un’opportuna scelta degli assi e trascurando i termini di
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6. Esempio. - Come applicazione semplicissima delle equazioni cardinali dell’equilibrio, consideriamo una catena pesante, appesa agli estremi a due
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una generica asta AB dalle forze (applicate agli estremi)
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15. Condizioni di equilibrio. - Consideriamo ora un tratto di filo che sia sollecitato, non solo agli estremi, ma anche in un numero (finito
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Queste gomene sostentatrici sono fissate agli estremi e, di solito, l’impiantito del ponte sottostante è ad esse assicurato per mezzo di robusti
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sono prefissate le forze F A, F B applicate agli estremi, alle condizioni ai limiti (17), che, proiettate sugli assi danno appunto sei equazioni scalari
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32. Caso di forti tensioni.- Un caso particolare che merita di essere rilevato, è quello di un filo fortemente teso agli estremi, con che si intende
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adagiato su di una superficie sotto l’azione di forze che lo tendano (abbastanza fortemente) agli estremi. Qui la sollecitazione continua lungo il filo
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precisamente come se il filo, libero e in assenza di ogni altra forza, fosse teso da due forze applicate agli estremi.
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cioè la tensione si trasmette inalterata da un capo all’altro del filo; il che implica, in particolare, agli estremi del filo (s = 0 ed s = l)
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agli altri dati del problema dalla
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Accademia della crusca
