Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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(da cui abbiamo escluso le potenze negative di perchè vogliamo che la soluzione sia finita anche per ). Sostituendo questa serie nella (186), si trova
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che abbiamo già dimostrato al § 50 mediante la meccanica ondulatoria: inoltre, si ritrovano le regole di polarizzazione enunciate al § 50.
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Sostituendo nella (20) abbiamo
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Si trova dunque la condizione che abbiamo già espresso dicendo che l'equazione era autoaggiunta (v. § 3, p. II).
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Gli elementi delle matrici e che abbiamo calcolato (e che intervengono anche in problemi di teoria della radiazione), si potrebbero anche calcolare mediante la loro espressione ondulatoria (v. (147)):
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Si può poi facilmente verificare che le espressioni trovate per gli elementi delle matrici e soddisfano le relazioni (156) e (157) (che abbiamo utilizzato solo particolarizzandole per j = k) anche per .
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Per dimostrare quanto abbiamo ora enunciato, consideriamo la trasformazione di Lorentz più generale, ossia la più generale trasformazione ortogonale nello spazio di Minkowsky, espressa dalle formule:
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Questo V' è quindi quello che abbiamo chiamato potenziale di risonanza.
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Abbiamo dunque
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Abbiamo dunque
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Designando dunque l’accelerazione, che è una determinata funzione vettoriale del tempo, con a(t), abbiamo per definizione
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Abbiamo quindi
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Riferendo la traiettoria ai suoi assi e introducendo l’anomalia eccentrica u, abbiamo
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c) Se infine il moto di trascinamento è elicoidale uniform e e l’origine O della terna mobile si assume sul relativo asse di moto, abbiamo
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Invero, designati con v 0, ω, e v 0 *, ω* codesti vettori caratteristici presi rispetto al polo O, abbiamo senz’altro per la (11)
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Per lo scopo che abbiamo in vista, è vantaggioso prendere in considerazione il moto di Φ' rispetto a Φ.
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Manifestamente abbiamo
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Nelle considerazioni precedenti abbiamo esplicitamente supposto che il punto P fosse distinto dal polo.
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Tenendo conto dei 2 volantini dei pedali abbiamo altri due parametri. Il grado di libertà è dunque complessivamente 9.
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Abbiamo implicitamente supposto che la bicicletta non sia a ruota libera. Vi sarebbe altrimenti un parametro di più e il grado di libertà sarebbe 10.
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Se il sistema ha un punto fisso, i parametri e quindi i gradi di libertà, si riducono evidentemente a 3, come del resto abbiamo già osservato al n. 6.
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Notiamo, infine, che la condizione di equilibrio del punto così stabilita si presenta come una generalizzazione del postulato che al n. 4 abbiamo introdotto a render possibile la misura statica delle forze.
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Qui è necessario fermarsi un momento su questo importante risultato e prima ancora sulla grandezza scalare che abbiamo indicato con T.
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Da queste relazioni, risolvendo rispetto a τ e a μ, abbiamo
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Abbiamo visto al n. 51 che ogni sistema di vettori applicati paralleli è equivalente ad un unico vettore o ad una coppia.
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Per questo abbiamo voluto rammentarla, pur non potendo qui soffermarci ad illustrarne le conseguenze.
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Abbiamo pertanto:
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Usufruendo della (10) e badando che ρ ed r non dipendono dalla posizione di Q su σ, e possono quindi essere portati fuori del segno integrale, abbiamo
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Dal triangolo OPQ abbiamo:
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Nei tre primi addendi abbiamo rispettivamente il potenziale puntiforme e le correzioni di primo e secondo ordine. Troviamone le espressioni esplicite in base alle (20) e (21).
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Abbiamo pertanto il teorema :
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Viceversa, se si suppongono soddisfatte le condizioni dell’enunciato, abbiamo anzitutto la relazione di equivalenza
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Di queste trasmissioni di forze mediante fili abbiamo già usufruito in più esempi concreti (e in circostanze meno semplici), anticipando alcune leggi, almeno in via di approssimazione (Cap. VII, § 2).
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Riprendendo le notazioni del n. 12, abbiamo nel caso presente due circostanze semplificatrici: ogni p i è eguale a P', e sono pure eguali tra loro e ad ε le proiezioni orizzontali,
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. - Al n. 16 abbiamo studiato la configurazione di equilibrio delle gomene sostentatrici dei ponti sospesi, adottando l’ipotesi più direttamente suggerita dalle circostanze di fatto, cioè supponendo che il peso del ponte si ripartisse in un numero discreto di punti (punti di attacco dei tiranti), gravando egualmente su ciascuno di essi. In base a tale ipotesi, abbiamo trovato, come configurazione di equilibrio di ciascuna gomena sostentatrice, una poligonale, iscritta in una parabola ad asse verticale, passante per gli estremi.
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Il problema, posto in questo modo, si discute anche più comodamente di quanto abbiamo potuto fare al n. 16 nella ipotesi di una sollecitazione discreta; e si arriva ad una formula, particolarmente semplice, di uso corrente nella tecnica.
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che abbiamo indicato con 2p,
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che abbiamo già ottenuto direttamente al n. 31.
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Se indichiamo con k la il cui valore assoluto (rapporto fra l’angolo di contingenza e il corrispondente arco elementare) è la curvatura c della linea nel punto considerato, abbiamo
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Abbiamo così nelle (19) le espressioni di infinite sollecitazioni equilibranti pel nostro sistema.
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Per altro non è inutile di rendersene conto anche in altro modo riportandosi ai criteri più elementari e particolari (sebbene per qualche rispetto più pratici, perchè non escludono a priori gli attriti) che abbiamo seguito nei Cap. IX, XIII e XIV per stabilire le condizioni di equilibrio assoluto spettanti ad ognuna delle categorie di sistemi ivi considerati. Abbiamo allora proceduto come segue:
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Supposto per es. che sia T la tensione maggiore, abbiamo trovato allora che, quando l’equilibrio sussiste, dev’essere
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Il momento risultante delle prime è un dato della questione e lo abbiamo indicato con γ.
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Noi le abbiamo infatti determinate, combinando le due equazioni
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Sin qui non abbiamo fatta alcuna ipotesi sul segno di v. Ora dalla
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Siccome tutte le celle in cui abbiamo diviso lo spazio delle fasi hanno egual volume, i numeri N s sono proporzionali alla densità dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi. Possiamo dunque così formulare il risultato precedente:
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. - Conviene qui notare la connessione dei risultati, a cui abbiamo accennato, col terzo principio della termodinamica o principio di Nernst (v. termodinamica).
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Abbiamo stabilito d'altra parte, tra entropia S e probabilità π la relazione di Boltzmann
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. - Abbiamo fin qui considerata la legge di ripartizione di Boltzmann da due punti di vista diversi, cioè:
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Accademia della crusca
