immaginando che, come ad esempio nel caso di una traiettoria rettilinea, abbia senso la considerazione del Moto (non soltanto per un certo intervallo di tempo, ma) nella sua integrità, cioè al variare di t da - ∞ a + ∞, si desume dalla (24') che, per t 1 tendente all’infinito sia positivamente che negativamente, x tende all’infinito positivo o negativo, secondo che a > 0 oppure a 0. Inoltre se si considerano due istanti - t 1 e t 1 (di cui il primo preceda l’istante d’arresto e l’altro lo segua allo stesso intervallo di tempo) si riconosce dalle (23'), (24') che in codesti due istanti il punto passa per la medesima posizione, con la stessa velocità intensiva, diretta per altro nei due istanti considerati in senso contrario.
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Così, in particolare, in ogni atto di moto rotatorio il centro istantaneo di rotazione è caratterizzato sul piano mobile come l’unico punto I che abbia velocità nulla; mentre ben sappiamo che in ogni atto di moto traslatorio tutti i punti del piano mobile hanno velocità equipollenti.
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b) Se AH è rettilineo, si ha ancora (n. 40) nel profilo coniugato un arco di epicicloide; e si può d' altra parte scegliere la costa epicicloidale HB in modo che l'ipocicloide coniugata divenga essa pure rettilinea: basta che la rulletta spettante ad HB abbia per raggio ½ρ (ρ raggio della circonferenza primitiva della ruota di cui si tratta).
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., supponendo che il piano, su cui essa deve rotolare senza strisciare, si muova comunque nello spazio, mantenendosi beninteso rigido; ed anzi, per semplicità, riferiamoci al caso in cui il moto del piano sia traslatorio ed abbia una data velocità τ di componenti τ1, τ2, τ3, rispetto ai soliti assi ξ, η, ζ. Usando ancora le rotazioni del n. prec., avremo che il centro O della sfera, dovendosi mantenere alla distanza r dal piano di appoggio, avrà la terza coordinata γ non più costantemente uguale ad R, bensì data da
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Notiamo infine che in base alla (5) dovrà dirsi di massa 1 ogni corpuscolo, il cui peso in un dato luogo abbia lo stesso valore della locale accelerazione g della gravità. Ove si assuma per g il valore di 9,80m/sec2, si ha dalla (5) la formula approssimata
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Dalle equazioni (4) e (6) dei nn. 14, 15 risulta che per l’equilibrio di un punto, vale a dire perché esso abbia un’accelerazione costantemente nulla, occorre e basta che si annulli la forza attiva, se si tratta di un punto libero, la risultante della forza attiva e della reazione, se si tratta di un punto vincolato. In quest’ultimo caso, si può anche dire che la condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio si è che la forza attiva sia direttamente opposta alla reazione.
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c) Si consideri infine un campo in cui la forza F sia, in ogni punto P, diretta ad un certo centro fisso O ed abbia una intensità dipendente esclusivamente dalla distanza ρ = OP del punto di applicazione dal centro O (forza centrale). La F, nei singoli punti del campo, può essere diretta dal centro O verso il punto di applicazione (forza repulsiva) o nel senso contrario (forza attrattiva): noi rappresenteremo con φ(ρ) la componente della F secondo la retta orientata OP, cosicché la φ risulterà, in se stessa, positiva o negativa secondo che la forza è repulsiva o attrattiva. In ogni caso il prodotto scalare F x dP si può esprimere come prodotto delle componenti di F e di dP secondo la stessa direzione orientata OP, talché abbiamo
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L’integrale generale della (13) o delle (13') dipende da sei costanti arbitrarie, cosicché nelle date condizioni sono possibili pel punto ∞6 moti diversi, ciascuno dei quali si individuerà prefissando opportunamente certe sei condizioni ulteriori, che consistono per lo più nell’imporre che il punto, in un dato istante t 0, occupi una assegnata posizione P 0 (x 0, y 0, x 0) ed abbia una assegnata velocità v 0
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., un sasso che può senza danno esser sostenuto da una lastra di vetro, la infrange se vi è lanciato contro; il martello, cui la mano abbia impresso una certa velocità, conficca in una tavola, per es. orizzontale, un chiodo, mentre non produrrebbe quasi nessun effetto se fosse semplicemente appoggiato sulla testa del chiodo; i proiettili producono i loro terribili effetti solo in quanto sono animati da elevate velocità, ecc.
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Ma si può invece immaginare che una forza F, agendo per un brevissimo intervallo di tempo τ compreso fra gli stanti t 0 e t 1, assuma in esso intensità grandissime, per modo che l’impulso della forza in quel pur brevissimo intervallo di tempo abbia un valore assoluto finito e determinato.
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Unità di velocità è a dirsi in particolare ogni velocità, che abbia 1 per misura: come rappresentante tipica (che fa riscontro al quadrato e al cubo di lato l) può assumersi la velocità di un mobile, che è animato di moto uniforme e percorre l’unità di spazio nell’unità di tempo.
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Naturalmente perché la questione abbia un senso, bisogna anzitutto fissar bene che cosa debba intendersi per questa uguaglianza di funzionamento. Attesa la ammessa identità di tipo fra le macchine di ω, e di ω, appare ragionevole il dire che esse funzionano nello stesso modo quando consumano, a parità di tempo, quantità di carbone proporzionali alle capacità dei rispettivi forni, cioè aventi il rapporto λ3.
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Se si cerca di spostare il grave P sul piano, sottoponendolo ad una trazione orizzontale in una data direzione, vediamo che per sforzi di trazione abbastanza piccoli il punto continua a mantenersi in quiete; soltanto quando la trazione orizzontale abbia superato una certa intensità, P comincia a muoversi. Dicesi trazione (orizzontale) limite la massima intensità τ0 di una forza orizzontale che, applicata in P, lo lascia in quiete; mentre ogni forza di intensità maggiore di τ0, anche di pochissimo, lo mette in moto.
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. - Dal n. prec. risulta che per l’equilibrio di un punto materiale P di peso p, appoggiato su di un suolo orizzontale e sollecitato da una trazione orizzontale di intensità τ, occorre e basta che τ non superi la trazione limite, ossia che, indicando con f il coefficiente di attrito fra le sostanze costitutive del punto e del suolo, si abbia
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Nel § prec. abbiamo sempre supposto che il vincolo unilaterale (o ciascuno dei vincoli unilaterali) a cui si immaginava soggetto un punto materiale P, fosse determinato dall’appoggio alla superficie di corpo fisicamente dato; ma in pratica un vincolo unilaterale di codesto tipo può essere realizzato anche in altri modi: p. es. un punto P, collegato ad un punto fisso O mediante un filo flessibile o inestendibile di data lunghezza l, può muoversi soltanto all’interno o sulla superficie della sfera di centro O e di raggio l (per quanto questa non abbia una esistenza materiale.
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Questa conseguenza di un principio fondamentale della Meccanica razionale che sarà stabilito più innanzi (principio dei lavori virtuali) va in verità accolta soltanto come una legge limite; ma serve utilmente, almeno come norma direttiva, anche nei casi reali in cui si deve tener conto delle resistenze passive, purché si abbia cura di controllarla caso per caso con l’indagine diretta delle condizioni fisiche del problema ed, ove se ne presenti il bisogno, di modificarla in qualche dettaglio.
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E si vede che la linea d’azione di R passa per il punto C ottenuto nel modo seguente: prendendo sul segmento A 1, A 2 il punto P (1) tale che il rapporto fra i segmenti A 1 P (1), P (1) A 2 sia prendendo sul segmento P (1) A 3, il punto P (2) tale che il rapporto sia prendendo sul segmento P (n-2) A n il punto C tale che si abbia
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I risultati precedenti, sotto opportune condizioni, si estendono anche al caso in cui la f (Q|λ) abbia entro S per un certo valore λ0 di λ un punto P di infinito.
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Il più generale sistema di due soli vettori applicati in O, O', che rispetto ad O abbia il risultante R e il momento risultante M, si otterrà aggiungendo a v' e -v' altri due vettori applicati in O ed O' e costituenti un sistema equilibrato, vale a dire (Cap. I, n. 52) due vettori direttamente opposti w e - w, e aventi, perciò, come linea di azione la a. Al variare della intensità w di codesti due vettori aggiuntivi, si otterranno appunto infiniti sistemi di due vettori soddisfacenti al nostro enunciato; ed è manifesto che l’arbitrarietà della scelta di w corrisponde, in sostanza, alla possibilità di guidare, nella costruzione indicata, dapprincipio sul piano ϖ, i due vettori costituenti una coppia di momento M, in una direzione qualsiasi, anziché ortogonale ad a.
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Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio si è che il peso totale possa essere equilibrato da due reazioni concorrenti in un punto della sua linea di azione (verticaledel baricentro) e interne ciascuna al rispettivo angolo di attrito; in altre parole: Condizione neccessaria e sufficiente per l’ equilibrio della scala si é che la verticale del baricentro abbia almeno un punto comune col quadrangolo (o triangolo) comune ai due angoli di attrito.
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Consideriamo precisamente un solido S, che abbia un asse fisso a e uno o più appoggi sopra un piano π passante per l’asse; e, per fissare le idee, supponiamo che codesto piano π (e quindi l’asse a) sia orizzontale e che il solido si appoggi sulla faccia superiore di π, come accade, ad es., per un coperchio a cerniera quando si appoggia sull’orlo della relativa scatola. Infine immaginiamo l’asse a orientato nel verso, rispetto a cui appar destrorsa la rotazione consentita ad S dal piano di appoggio.
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Se poi l'unico appoggio P presenta attrito, basta per l'equilibrio che la componente normale della reazione abbia il valore or ora determinato: quella tangenziale, in quanto ha in ogni caso momento nullo rispetto ad a, resta indeterminata sotto la sola condizione che essa non faccia uscire la reazione totale dalla falda esterna del cono di attrito.
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È particolarmente interessante (anche in vista di problemi concreti che trovano qui la loro rappresentazione schematica) il caso di un solido pesante S, che si appoggi, nel modo indicato dianzi, su di un piano orizzontale, abbia il baricentro sostenuto e sia soggetto, oltre che al proprio peso, esclusivamente ad una trazione orizzontale che tenda a ribaltarlo.
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In ogni caso, se si designano con -P a e T a i momenti del peso e della trazione rispetto ad una generica retta a, per l’equilibrio del solido sarà necessario e sufficiente che si abbia, per tutte le singole rette a,
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Posto infatti che nel cilindro (o nel suolo o in entrambi) intervenga una qualche deformazione, sì che il contatto abbia luogo non secondo una sola retta g, ma in tutta u’area (una sottile strisciolina comprendente g), non è più vero che si annulli necessariamente il momento delle reazioni rispetto a g, anzi esse possono benissimo esplicarsi (colle solite leggi dell’attrito radente) in modo da equilibrare il peso e una trazione abbastanza piccola.
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Supponiamo tale condizione soddisfatta e indichiamo un criterio, che permette di togliere l'indeterminazione, quando si abbia riguardo alle piccole deformazioni del suolo, pur seguitando a supporre che il corpo sia perfettamente rigido.
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Al vettore si dà il nome di forza unitaria, per quanto, il suo modulo (come rapporto di una forza propriamente detta ad una lunghezza) non abbia le dimensioni fisiche di una forza. Quanto poi alla qualifica di «unitaria» la ragione ne risulta ovvia quando si rifletta che, se F si mantiene costante lungo un tratto di filo, essa si può definire come il rapporto della risultante delle forze agenti su quel tratto alla lunghezza del tratto stesso o, in altre parole, come la forza totale agente su di un tratto di filo di lunghezza 1. E nel caso generale il vettore F è il limite del rapporto or ora definito al tendere allo zero del tratto sollecitato.
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. - Date le forze F A ed F B applicate agli estremi di un filo AB e la forza unitaria F, che caratterizza una certa sollecitazione continua, osserviamo anzitutto che, in condizioni statiche, ogni tratto di filo AP, compreso fra A e un generico punto P della funicolare, risente in P,per effetto del suo collegamento col residuo tratto PB, una certa azione T, analoga agli sforzi Φ delle singole aste del poligono funicolare; onde, per estensione a questo caso limite delle norme di comportamento degli sforzi nelle sollecitazioni discrete, si è condotti ad ammetter che la T sia diretta verso il punto infinitamente vicino a P sulla funicolare, cioè lungo la tangente in P, ed abbia carattere di tensione. Essa dicesi appunto tensione della funicolare nel punto P. Perciò, se si conviene di designare con s l’arco AP di funicolare misurato positivamente da A verso B, la tensione, per ogni determinata funicolare, è un vettore funzione dell'arco, tangente alla funicolare e sempre diretto nel verso delle s crescenti.
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. - Come ulteriore applicazione delle osservazioni del n. 47, consideriamo una verga AB, che allo stato di equilibrio naturale, cioè in assenza di ogni sollecitazione attiva, abbia una configurazione piana; e immaginiamo che essa abbia raggiunto uno stato di equilibrio forzato sotto una data sollecitazione esclusivamente terminale e simmetrica rispetto al suo piano, cioè, precisamente, sotto l'azione, agli estremi A e B,di due forze F A ed F B giacenti nel piano di figura, e di due momenti (flettenti) M A ed M B, perpendicolari a codesto piano.
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Riferendoci al solito sistema di N punti Pi, soggetti a vincoli privi di attrito e indipendenti dal tempo e alla sollecitazione di date forze direttamente applicate Fi, supponiamo per un momento che le intensità Fi di queste siano fra loro commensurabili e si abbia precisamente
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D’altra parte, come è ben noto dal Calcolo, perché una funzione abbia un massimo od un minimo, si richiede non soltanto che si annulli il suo differenziale primo (per il sistema di valori, cui il massimo o minimo si riferisce), ma che inoltre sia soddisfatta una condizione supplementare concernente il differenziale secondo. Nel caso dell’equilibrio di un sistema pesante, si trova bensì soddisfatta per la funzione z 0 la condizione di annullamento del differenziale primo (δz 0 = 0), ma nulla si sa del differenziale secondo.
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Notiamo che la condizione più restrittiva che la z 0 abbia un effettivo minimo, che cioè il baricentro si trovi nella posizione più bassa consentitagli dai legami, assicura insieme il sussistere dell’equilibrio e la stabilità del medesimo. In tal caso si può infatti asserire che, per ogni spostamento abbastanza piccolo del sistema, compatibile coi vincoli, il baricentro si innalza. Ne consegue che, nel tornare alla posizione di equilibrio, le forze attive (che qui si riducono al peso dei singoli elementi) fanno complessivamente lavoro positivo.
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Sotto questa ipotesi, perché sussista l'equilibrio occorre e basta, per l’equazione simbolica della Statica, che si abbia
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., n) si abbia
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Si abbia un unico punto materiale P, vincolato a non uscire da un certo angoloide convesso ad s facce, di vertice O, e si vogliano discutere le condizioni di equilibrio nella posizione O, che è manifestamente di confine per tutti i vincoli.
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talché la B 1 = 0 abbia la forma
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Dacché si parte dalla quiete, l'appoggio avrà luogo in B; d’altra parte, affinché possa cominciare lo scorrimento del mozzo rispetto all’asse, è d’uopo che la reazione d’appoggio R 2 abbia una componente tangenziale eguale almeno a ptgφ.
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Proiettando la (20) sugli assi x, y, definiti al n. 35, e cambiando segno ai due membri, ove si noti che le componenti di g sono - g cosγ, - g sinγ e si abbia riguardo alle (18) e (19), si ottiene
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Se v è la velocità costante prefissata, possiamo scegliere la terna Oxyz, di riferimento in modo che l’asse x abbia la direzione e il senso della v, onde le componenti di questa saranno v, 0, 0, ove al solito si denoti con v la lunghezza di v. Esprimendo che un punto mobile P di coordinate x,y,x, ha, ad ogni istante, la velocità v otteniamo le equazioni (differenziali)
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Accademia della crusca
