Se, in particolare, la poligonale si rinchiude, cioè se A n coincide con O, si ha l’identità, valida per n punti A 1 A 2,…, A'n quali si vogliano,
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il che vuoi dire che, con riferimento ad una data terna di assi, si conoscono le componenti a x, a y, a z di a in funzione dei sette argomenti
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il quale, sotto condizioni assai larghe per le funzioni di sette argomenti a x, a y, a z, ammette infinite soluzioni, dipendenti nel loro insieme da sei costanti arbitrarie Cfr. la nota a piè di pagina 97. . Abbiamo dunque ∞6 moti diversi aventi la data accelerazione.
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I vettori B 1-A, B 2 - A, B 3 - A diconsi i componenti di v secondo le tre direzioni date.
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Il prolungamento del segmento A 0 intersecherà la spirale in infiniti altri punti che potremo indicare con A -1, A -2,…cui corrispondono, come intersezioni delle stesse spire con OB 0 altrettanti punti B -1, B -1,… Ma noi per fissare le idee, consideriamo il moto di P a partire dall’istante in cui si trova A 0.
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Qualunque sia a, il vettore a v è parallelo a v (o nullo) e, viceversa, per v ≠ 0, ogni vettore v' (nullo, o) parallelo a v è rappresentabile sotto la forma
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Inoltre se, rispetto ad una data terna di assi, sono X, Y, Z le componenti di v, quelle di a v sono a X, a Y, a Z.
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Più in generale, si chiama prodotto del vettore v per un numero reale qualsiasi a e si denota con a v (o indifferentemente con v a) il vettore che ha la lunghezza |a| v, e (quando non sia nullo) la stessa direzione di v, e lo stesso verso o l’opposto secondo che a è positivo o negativo. Notiamo subito che, per definizione, a v si annulla sempre e solo quando sia nullo o il numero a o il vettore v (od entrambi).
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v a, a a, v r, a r.
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Se poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di Analogamente l’angolo di v 1 , e a v 2 , è di ampiezza e di verso opposto a onde si conclude che i tre vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1 v 2 e la stessa direzione e il verso opposto di v 1 Λ v 2 ; e perciò coincidono.
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Ora, se per caso A' coincide con A, basta a tale scopo la rotazione di centro e di ampiezza
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Escluso questo caso, cioè supposto A' distinto da A, scegliamo come secondo punto su P quello la cui posizione iniziale B coincide precisamente con A'. La sua posizione finale B', per la condizione A'B' = AB, giacerà sulla circonferenza di centro A' = B e di raggio BA; e necessariamente dovrà presentarsi l'una o l'altra delle seguenti tre circostanze, che partitamente discuteremo :
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Girolamo Cardano n. a Pavia nel 1501, m. a Roma nel 1576 insegnò Matematiche a Milano, e quindi Medicina a Pavia e a Roma.
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Il teorema prec. resterà stabilito, se dimostreremo che ogni punto della circonferenza mobile c descrive, durante il moto considerato, un diametro della circonferenza fissa γ [teorema del Cardano] Girolamo Cardano n. a Pavia nel 1501, m. a Roma nel 1576 insegnò Matematiche a Milano, e quindi Medicina a Pavia e a Roma..
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Ben si intende che (atteso lo scambio di a in - a) k Sta per rimanendo inalterato il significato delle lettere a, b, p, α.
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Infatti ove si ponga b = 2a ossia b - a = a risulta e p = a; onde la seconda delle (8) dà η = 0.
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. - Le componenti a ξ, a η, sugli assi fissi della accelerazione a di un punto P qualsiasi del piano mobile si ottengono, per derivazione delle (21) rispetto a t, sotto la forma
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j . i, si può scrivere più compendiosamente
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Nicola Copernico n. a Thorn in Polonia nel 1473, m. nel 1543 a Frauenburg (Prussia orientale), dove egli era canonico della cattedrale. Studiò a Cracovia e a Vienna, poi a Bologna, a Padova e a Roma, nella quale ultima città tenne anche lezioni di matematica e di astronomia. Il sistema che da lui prende il nome fu pubblicato a Norimberga nel 1543, subito dopo la sua morte, sotto il titolo «De revolutionibus orbium caelestium Libri VI». Pare che l'opera fosse pronta fin dal 1507.
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a 1 : a 2 = m 2 : m 1;
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a a = a t + a r + 2a c,
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F = m a, F'= m'a'.
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m = μm' a = λτ-2 a',
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Il vettore v 3 avrà quindi esso pure un momento nullo rispetto ad A 1, A 2, ossia sarà situato sul piano A 1, A 2, A 3. Analogamente si vede che in tale piano devono giacere anche v 1 e v 2; sicché la prima parte del nostro asserto è intanto provata.
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e, poiché per ipotesi è v 2 v 1, sarà parimenti A 1 C A 2 C; cioè il punto C cadrà sul prolungamento di A l A 2 dalla parte del punto d’applicazione del vettore v 1, di intensità maggiore.
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A norma delle (17), la valutazione dei tre momenti d’inerzia A, B, C si riconduce subito a quella delle tre somme
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cioè vanno a zero i prodotti di inerzia A', B', C' e ossia, a tenore delle (17), le somme:
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Dicasi A' l’attrazione che una data massa omogenea, atteggiata a sfera (piena) esercita in un punto qualunque della sua superficie; A quella esercitata dalla stessa massa atteggiata a cilindro sul suo polo [cfr. Es. prec., formula (3)].
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Se i vettori di un sistema Σ sono tutti applicati in punti di una retta a, ciascuno di essi ha, rispetto alla a, momento nullo, cosicché riesce nullo altresì il momento risultante M a, rispetto alla a, dell’intero sistema Σ. In altre parole, ove si prenda come centro di riduzione un punto qualsiasi O della a, il momento risultante M di Σ rispetto ad O è ortogonale alla a.
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Ciò premesso, torniamo al solido S con asse fisso a, per dimostrare che l’annullarsi del momento risultante M a delle forze direttamente applicate F rispetto ad a è condizione sufficiente per l’equilibrio; e a tale scopo ragioniamo in modo perfettamente analogo a quello del n. 5.
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(5) R a = 0, M a = 0.
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(7') M a = T a -P a ≤ 0.
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T a ≤ P a
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dove τ,p 1, p 2 hanno significato evidente, 2a = B 1 B 2 , b è l'altezza di a sulla catenella, e a 1, a 2, sono le distanze dei baricentri G 1, G 2 dei due rami di scala dalla verticale di A].
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si appoggia in A al muro (schematizzato nella orizzontale a), e C alla trave DD' in A', mentre serve di sostegno a BB'; BB' si appoggia in B al muro (schematizzato nella retta orizzontale b) e ad AA' in B', mentre serve di sostegno a CC' in C'; ecc.
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R A, R B; Φ A, Φ B.
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(1*) F * A = F A + R A + R' A+ R'' A +…
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(2*) Ψ* = Ψ- R A, Ψ'* = Ψ' - R' A, Ψ''* = Ψ'' R''A,…
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(3*) Φ A* = R A + Φ A , Φ B* = R B + Φ B,
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cioè la risultante Φ * A della forza esterna R A , e dello sforzo Φ A , agenti sull’estremo A dell’asta AB, gode, rispetto alla Ψ*, della proprietà caratteristica delle forze interne, e si può quindi interpretare essa stessa come uno sforzo.
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esprimerà la equipollenza dei due segmenti orientati AB e A'B' ossia (se A, B, A' non sono allineati) il fatto che il quadrangolo ABB'A' è un parallelogramma.
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Possiamo supporre che valga il segno superiore (cioè che la tensione vada crescendo da A a B), giacché in caso contrario basta invertire il senso positivo sulla funicolare. In tale ipotesi, dividendo per T e integrando da A a B, avremo
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Ciò posto, immaginiamo che il corpo S sia mantenuto in equilibrio da certe forze applicate a punti delle facce terminali σ1, σ2 e da una certa sollecitazione continua agente sull’intero corpo; e denotiamo con F A, F B le risultanti delle forze applicate rispettivamente a σ1, σ2 e con M A, M B i corrispondenti momenti risultanti rispetto ad A e B.
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Si noti che per ogni valore di a, inferiore alla portata minima a 0, la freccia più conveniente (quella cioè che rende minimo τ) è legata ad a dalla stessa relazione, che lega f 0 ad a 0.
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Infatti l’ipotesi (1) equivale ad a a = a τ od anche sostituendo ad a a la sua espressione fornita, dal teorema del Coriolis, ad.
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Se l’equilibrio relativo sussiste, sarà (n. 1) a r = 0, nonché a c = ω Λ v r = 0, quindi a a = a τ c e la legge fondamentale del moto (assoluto) potrà scriversi m a τ = F , ossia
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m a a = F,
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Più precisamente, quando un elemento materiale di cinghia giunge in A (ovvero in B 1 ), a contatto con P un elemento materiale di C (ovvero di C 1), resta a contatto collo stesso elemento fino alla posizione B (o rispettivamente A l).
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[Si costruisce a parte un poligono O, A 1... A n, coi lati
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Cioè si costruisca, a partire da O, la poligonale (in generale sghemba) O A 1 A 2,…,An, i cui successivi lati OA 1, A 1 , A 2 , …,A n-1 A n, orientati ciascuno nel verso di percorrenza della poligonale da O ad A n, rappresentano ordinatamente i vettori dati.
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Accademia della crusca
