Si è dunque in un caso di degenerazione: gli autovalori sono doppi (eccetto l'autovalore O).
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(1) Si vedrà al § 33 p. III che sono gli elementi delle matrici che, nella meccanica quantistica, rappresentano le componenti del momento elettrico.
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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La funzione è riportata graficamente nella fig. 41 per gli stessi stati della fig. 40.
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Riassumendo, fissato n, il quanto azimutale k può assumere solo gli n valori
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Ciò premesso, nel salto quantico di cui sopra gli integrali di fase passano dai valori ai valori : perciò l'energia emessa è
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(1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui si possano applicare gli operatori in questione.
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il che significa che per gli operatori e definiti dalle (14) vale, invece della proprietà commutativa, la seguente formula di permutazione:
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Gli elementi di questa matrice si possono calcolare, osservando che rappresenta la componente m-esima del vettore e quindi (v. form. (8)):
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Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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Particolare interesse hanno poi gli elementi delle tre matrici , rappresentanti le componenti del momento elettrico del sistema nello schema , ossia
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diagonale: se dunque ci riferiamo a questo schema, si tratta di determinare gli elementi delle matrici e in modo che queste soddisfino le relazioni di
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Si tratta dunque di determinare gli elementi delle matrici e (riferite allo schema in modo che valga la relazione di permutazione
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dove è una costante che determineremo in seguito. Numerando in tal modo gli autovalori, la condizione (160) è soddisfatta solo per : quindi le
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
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Da questa relazione si traggono intanto gli autovalori perturbati, anche senza determinare le : difatti, per essa diviene
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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, nell'evoluzione di un dato sistema possono presentarsi stati di una sola delle due classi (come si dirà più avanti, per gli elettroni e i protoni sono gli
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(Si noti che, nel caso , si ha a 0 e quindi mancano gli stati corrispondenti ad i = 1, 2, 3).
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Questi risultati sperimentali sono in eccellente accordo con la teoria esposta nei §§ precedenti: gli atomi del parelio sono quelli a spin
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Supponiamo di racchiudere un gas formato da atomi e da elettroni in una cavità a pareti perfettamente riflettenti sia per gli atomi che per gli
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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cambino gli assi di riferimento, purché sian fissi gli uni rispetto agli altri: e questo asserto si può anche giustificare con un’analisi più precisa
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La stessa conclusione vale naturalmente anche per gli ingranaggi a fianchi rettilinei, dacché questi (n. 64, b) rientrano nei precedenti come caso
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dove son le componenti secondo gli assi fissi della velocità v 0 dell’origine mobile O.
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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C', infinitamente vicina a C e relativa all’istante consecutivo t + dt, dando nelle (2) alle q h, e a t gli incrementi arbitrari (e fra loro
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Di qui sviluppando i secondi membri, sottraendo membro a membro le (2) e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si deduce
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Di qui, sviluppando i primi membri, sottraendo membro a membro le corrispondenti (4') e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo
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14 .Per distinguere gli spostamenti virtuali dai possibili, i primi si designano con la lettera δ anziché colla d, talché, dato un sistema olonomo
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La (16') che dà il complesso di tutti gli spostamenti virtuali si riduce quindi
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Si ha dunque che i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali soltanto a partire dalle configurazioni di confine.
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21. Aggiungiamo un’ultima osservazione. Vedemmo che pei sistemi olonomi tutti gli spostamenti virtuali sono reversibili: ora, poiché i vincoli
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Uguagliando gli esponenti nei due membri, si vede intanto che dovrà essere γ = 1 e quindi
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Gli assi dell’ellissoide d’inerzia si chiamano assi principali d’ inerzia relativi al punto considerato.
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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Procedendo in modo analogo per tutti gli altri nodi e per tutte le altre aste, si conclude che la sollecitazione data Σ è staticamente equivalente
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Ricordando che ogni segmento orientato nullo, cioè avente gli estremi coincidenti, rappresenta il vettore nullo, si scriverà, coerentemente,
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dove, naturalmente, significa il rapporto fra gli incrementi delle coordinate, lungo la funicolare, corrispondenti ad un incremento ds dell’arco.
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talché, nella immediata prossimità di P gli sviluppi tayloriani di x, y assumeranno la forma
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valendo i segni superiori o gli inferiori secondoché si tratta di elica destrorsa o sinistrorsa.
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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dove gli a k.i, a i.i, denotano (r + s) N vettori determinati (puramente posizionali).
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6. Rotazioni e rototraslazioni uniformi. - Forza centrifuga. - Gli assi di riferimento siano invece animati da un moto rotatorio uniforme.
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Ogni sistema di vettori equivale a sei vettori diretti secondo gli spigoli di un tetraedro dato ad arbitrio.
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determina anche in genere un assorbimento di esse. Tale assorbimento è prodotto dal fatto che gli elettroni, messi in moto oscillatorio dal campo elettrico
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Accademia della crusca
