(32) e la proprietà di ortogonalità, si trova l'importante formula di Parseval (31**) che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn
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L'estensione a queste «autofunzioni di spettro continuo» del teorema di ortogonalità e della normalizzazione richiede alcune avvertenze: è ovvio
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Inoltre le funzioni Δy godono una proprietà che è la naturale estensione della ortogonalità di due autofunzioni relative ad autovalori diversi
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autofunzioni dello spettro continuo e quelle dello spettro discreto:
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prendendo come autofunzioni le (44) ed è quindi:
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Il problema delle autofunzioni, enunciato pel caso di due variabili, è il seguente: data una regione S del piano limitata da un contorno
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A ciascun autovalore (dove n può rappresentare in generale un complesso di più indici) corrisponderanno una o più autofunzioni normalizzate che
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autofunzioni dell'equazione di Schrödinger (131') (che formano come si sa, un sistema ortogonale completo): sarà cioè
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Occupiamoci ora della forma delle autofunzioni nel caso (che è il più interessante perchè corrisponde ad un sistema stabile): poichè il fattore
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Si osservi che i polinomi di Laguerre non sono autofunzioni di questa equazione, nè sono ortogonali: però godono la proprietà (che si può dimostrare
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Questa formula non contiene le autofunzioni, ma soltanto la E (contenuta in p): essa può dunque servire a determinare (approssimativamente) i diversi
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condizioni di regolarità imposte alle autofunzioni.
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quattro autofunzioni: ciò corrisponde al fatto, già rilevato sopra, che le orbite corrispondenti ai primi valori di n non hanno nessun significato fisico.
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dapprima, per semplicità, il caso di una sola variabile, e osserviamo che ognuna delle autofunzioni ortogonali normalizzate yn(x) (derivanti da una
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dove L funge da «parametro»: come si è visto al § 2, p. II esistono infinite soluzioni indipendenti (autofunzioni) f = a ciascuna delle quali
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Questa indeterminazione nelle autofunzioni di un o. l. incompleto si può in certo modo assimilare ad una degenerazione, considerando l'autovalore An
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teorema, cosicchè si può dire in tal caso: gli o. l. ed hanno gli stessi autovalori e le stesse autofunzioni.
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tempo autofunzioni di e di , cosicchè si possa scrivere (ordinando convenientemente gli indici degli autovalori)
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autofunzioni sono sostituite dalla ( indice continuo), ogni vettore f nello spazio hilbertiano è rappresentato, rispetto agli assi invece che dalle
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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funzione . Per esempio, la condizione di ortogonalità, e normalizzazione delle autofunzioni, espressa dalla (46) e dalla (46') del capitolo I, p. II
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variano col tempo. P. es., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p
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., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p. II) si ha uno stato non
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ossia (v. § 10) ricercando gli autovalori e le autofunzioni di questo operatore (che risulta hermitiano): i suoi autovalori En rappresentano i
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G e i suoi assi principali, individuati dalle autofunzioni dell'equazione
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Osservazione sui casi di degenerazione. — Se è un autovalore multiplo di ordine p, cui corrispondono p autofunzioni ortogonali dette le proiezioni di
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allora (v. § 10) che all'autovalore corrispondono le infinite autofunzioni (dove le rappresentano un qualsiasi sistema completo di autofunzioni
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autofunzioni, la probabilità del valore Gr nello stato è . Per i casi di degenerazione o di autovalori continui, v. pag. 348.
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. § 18) e le sono le autofunzioni comuni a tutti i loro operatori.
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questo schema evidentemente le direzioni degli assi di riferimento sano date dalle autofunzioni della equazione di SCHRÖDINGER.
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inserendovi per le autofunzioni le espressioni trovate nel § 39, p. II: tuttavia questo procedimento porterebbe a calcoli assai più lunghi di quelli
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La funzione , che rappresenta l'effetto della perturbazione su , si potrà poi sviluppare in serie mediante le autofunzioni imperturbate (che formano
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Si noti che per calcolare (in prima approssimazione) gli autovalori perturbati non è stato necessario conoscere le autofunzioni perturbate : molte
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in altre parole, le varie autofunzioni del multipletto si «mescolano» tra loro, senza che ve ne sia una che prevale sulle altre. Se dunque
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ma a . Le si possono chiamare le autofunzioni di approssimazione d'ordine zero.
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autofunzioni (ortogonali e normalizzate), i quali sistemi si possono tutti ottenere da uno qualunque di essi mediante una sostituzione lineare ortogonale: le
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Riprendiamo ora il caso generale, e occupiamoci della ricerca (in prima approssimazione) delle autofunzioni perturbate date dalla (189). È opportuno
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Per completare la conoscenza in prima approssimazione delle autofunzioni perturbate, mancano solo i coefficienti , che si determinano (come nel
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. Avremo così le quattro autofunzioni dell'operatore
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risultato . Applichiamo letteralmente il procedimento del § 22 (osservazione), cioè sviluppiamo la matrice mediante le autofunzioni , ponendo (la serie si
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Trattiamo dapprima il caso della soluzione (338) cioè di e cerchiamo gli autovalori (per il parametro ) e le autofunzioni delle equazioni (340
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soddisfatta. Poichè la (357) vale per qualunque autofunzione, varrà anche per una somma di autofunzioni, cosicchè, se rappresenta un pacchetto d'onde
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un sistema fondamentale di autofunzioni ad esso appartenenti, ortogonali tra, loro (v. § 6, p. II). È noto che ad esso si può sostituire un
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riconosce così che le p autofunzioni, parte simmetriche e parte antisimmetriche, che abbiamo sostituito alle (361), sono tutte ortogonali tra loro.
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dimostrare però che per ogni autovalore multiplo d'ordine p esiste un sistema di p autofunzioni (indipendenti e ortogonali) di cui una è simmetrica, una
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Come si vede, la prima di queste autofunzioni è simmetrica, la seconda antisimmetrica: ciò era prevedibile per quanto è stato detto al § 62. Nel caso
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Quando però si introduce la perturbazione , tali autofunzioni devono essere sostituite (v. § 39) con altrettante combinazioni lineari opportunamente
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autofunzioni, poichè, per poter impostare l'equazione (9), occorre conoscere l'integrale generale dell'equazione differenziale: le considerazioni precedenti
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per ognuna di esse altre infinite autofunzioni non indipendenti tra loro, e che quindi non interessa di considerare come soluzioni distinte. Per
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autofunzioni rispetto allo scambio delle coordinate di due delle particelle identiche.
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Accademia della crusca
