Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
nelle quali si riconoscono le velocità areolari, in senso scalare, delle proiezioni ortogonali del punto P rispettivamente sui piani y z,z x,x y.
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eliminatane la y, con che
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Inoltre se, rispetto ad una data terna di assi, sono X, Y, Z le componenti di v, quelle di a v sono a X, a Y, a Z.
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Se poi riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P, le
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y = 2a – η
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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Si indichino con M x , My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n
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φ (x, y, z) 0.
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x≥0, y≥0, z≥0
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Perciò il trinomio M x X+M y Y+M z Z vien chiamato trinomio invariante. Esso verrà indicato brevemente colla lettera T.
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x = x(t), y = y(t), z = z(t)
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X = X (x,y,z), Y = Y (x,y,z), Z = Z (x,y,z).
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ossia, indicando con X, Y, Z le componenti di F rispetto a certi tre assi e con x, y, z le coordinate della posizione di P,
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X = X (x,y,z|t), Y = Y (x,y,z|t), Z = Z (x,y,z|t).
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X = -y, Y = x, Z = 0,
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U = (x, y, z) = U = (x 0, y 0, z 0).
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Immaginando sostituite alle coordinate x, y, z le così dette coordinate cilindriche ρ, ζ, z, essendo ρ e ζ nient’altro che coordinate polari rispetto
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P = P(t) ossia x = x(t), y = y(t), z = z(t),
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(6) P = P(s) ossia x = x(s), y = y(s), x = z(s)
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(7) L P 1 P 2 = U (x 2, y 2, z 2) - U (x 1, y 1, z 1),
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ove con x 1, y 1, z 1 e x 2, y 2, z 2 si designano le coordinate di P 1 e P 2 rispettivamente.
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(8) Lp 0 P = (x, y, z);
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F x dP = U (x + dx, y + dy, z + dz) - U (x, y, z).
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Una forza, le cui componenti X, Y, Z siano ordinatamente funzioni della sola x, della sola y, e della sola z, è conservativa. Assegnarne il
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X = -ky, Y = -k x, Z = 0
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Segue come conseguenza immediata il Teorema: «Se ξ, η, ζ sono tre monomi indipendenti in x, y, z, a qualunque monomio xa y b z c si può attribuire la
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se x i, y i, z i designano le coordinate dei punti P i del sistema e x 0, y 0, z 0 quelle del baricentro G.
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x = a, y = b.
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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Di tutto ciò si può naturalmente avere la riprova formale, introducendo le coordinate x, y, z di P e x 1, y 1, z 1 di Q, con che:
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6. Per ogni sistema di valori di x, y, z, che non dà luogo a singolarità (escluse quindi nel caso nostro le sole terne x i, y i, z i) valgono le
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In base a tale corrispondenza biunivoca tra i vettori e le terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi le coordinate del vettore v rispetto alla
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Inversamente, se si prefissano ad arbitrio tre numeri (relativi) X, Y, Z , questi individuano, in base alle (2), (3), un ben determinato vettore, a
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derivato di un vettore v: basta sostituire alle componenti X, Y, Z del vettore le coordinate x, y, z del punto.
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come risulta subito proiettando sui due assi la spezzata P 1 P 2... P i ed esprimendo che le due proiezioni non sono altro che x i - x 1, y i - y 1.
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cui bisogna associare quelle che legano x n, y n, alle l e alle e alle α. Queste due equazioni si ottengono nel modo più semplice proiettando il
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Trattando l’ascissa x come variabile indipendente, e l'ordinata y come funzione, si può dare alla relazione testé ricavata la forma di un’equazione
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e basta eseguire una traslazione degli assi parallela all’asse y, (cioè assumere come nuova y la y - cost.) per ridurre a zero la costante di
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(33) T = p y,
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x = x(s), y = y(s)
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y'' = k;
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x' = l, y' = 0,
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6. Un filo pesante, sospeso per i suoi estremi, è atteggiato secondo una curva rappresentata dall’equazione c 3 y = x 4 (c costante, asse y verticale
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5 . Dimostrare che, se ad ogni vettore v = X i + Y j del piano O x y si fa corrispondere il numero complesso
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Mentre un punto P si muove nello spazio secondo le equazioni (2), le sue proiezioni ortogonali P x, P y, P z sui tre assi si muovono ciascuna sul
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x= x(t), y = y(t)
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come si rileva dalle (12), imponendo che per t = t0 debba essere x = x 0, y = y 0, z = zo.
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Se v x, v y, v z, sono le componenti del vettore v, le coordinate x, y, z, del punto mobile P debbono variare in funzione del tempo in modo da
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In tal caso le componenti di v sono funzioni note dei quattro argomenti x, y, x e t, e si è condotti a cercare le terne di funzioni x, y, x di t, che
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(16) x=x(t), y = y(t)
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