Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
TEORIA DEI VETTORI.
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§ 1. - Segmenti orientati e vettori.
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Ne scende che la proiezione del risultante di più vettori su di una data direzione coincide col risultante delle proiezioni dei vettori considerati
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Se i due vettori v 1, v 2 non sono fra loro ortogonali e sono entrambi diversi da zero, v 1 x v 2 è positivo o negativo, secondo che l'angolo dei due
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e prodotto vettoriale di due vettori.
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19.Prodotto Scalare. – Dati due vettori v 1, v 2, entrambi diversi dallo zero, dicesi prodotto scalare (od interno) di v 1, per v 2 il prodotto v 1 v
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a) Siano dati in un piano due vettori ruotanti aventi eguali frequenze; se i due vettori hanno lo stesso verso, la loro risultante è un vettore
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, mobile un punto qualsiasi O, si prefissino, ad arbitrio, i vettori, puramente temporali, v 0, ω. Perciò questi due vettori diconsi vettori
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Di qui, ricordando il § 5 del Cap. I, si conclude che i vettori caratteristici ω e v ' 0 di un moto rigido, al variare del polo, si comportano
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cioè i vettori caratteristici, rispetto ad un dato polo, di un moto composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettori caratteristici
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Se poi i vettori ω1, ω2 sono opposti, così che applicati in O 1, O 2 rispettivamente costituiscono una coppia, si prenda come centro di riduzione dei
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Notiamo che il valore assoluto di v 1 x (v 2 Λ v 3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori v 1, v 2, v 3. Per dimostrarlo, escludiamo
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§ 5. Momento risultante di un sistema di vettori applicati.
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Aggiungiamo infine che, per contrapposto ai vettori e alle grandezze vettoriali (cioè rappresentabili con vettori), i numeri (relativi) e le
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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Si ha senz’altro che se un sistema di vettori applicati è equilibrato, è pur tale il sistema dei vettori direttamente opposti.
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La composizione o decomposizione di vettori applicati in un medesimo punto (ossia la sostituzione di quantisivogliono vettori del sistema, applicati
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Dal n. prec. e dal n. 39 sappiamo che il sistema di due vettori applicati, direttamente opposti, equivale a zero e che il sistema di più vettori
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vettori applicati (direttamente opposti) CD, D C; sopprimere dal sistema così ottenuto i: vettori AB e DC.
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Basterà, evidentemente, eseguire l'accennata riduzione per tutti i vettori del sistema; e comporre poi i vettori che concorrono in ciascuno dei punti
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Ciò posto, è facile vedere, più in generale, che ogni sistema di vettori è riducibile a tre vettori coll’origine in tre punti qualsiansi non
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Consideriamo a tale scopo il sistema σ 2' costituito dai vettori applicati, direttamente opposti ai singoli vettori di σ 2.
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46. Coppie. -- Dicesi coppia, ogni sistema formato da due vettori applicati opposti (cioè paralleli e di verso opposto). La distanza b delle
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50. Al n. 40 abbiamo veduto sotto quali condizioni un sistema di vettori è equivalente ad un unico vettore; ora possiamo aggiungere che un sistema di
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52.Sistemi in equilibrio formati da due o tre vettori. - Consideriamo ora i sistemi equilibrati (n. 40) costituiti da due o da tre vettori (non nulli
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Per i sistemi equilibrati formati da tre vettori, si può dimostrare che tali vettori sono necessariamente situati in un medesimo piano; e che le loro
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Per i sistemi paralleli, scelto un centro di riduzione a piacimento, il momento M riesce manifestamente normale alla comune direzione dei vettori del
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§ 7. - Sistemi di vettori paralleli.
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Escluso il caso già studiato della coppia (in particolare di due vettori direttamente opposti) le lunghezze dei due vettori sono diseguali; sia, ad
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cioè: Il sistema di due vettori applicati paralleli e di egual verso è equivalente al loro risultante applicato nei punto che divide internamente il
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È perciò che le coppie (considerate come casi limiti dei sistemi di due vettori paralleli, diretti in senso opposto e le cui lunghezze tendono a
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Si conclude così che: Il sistema di due vettori paralleli, di verso opposto e di lunghezze diseguali, equivale al sito risultante applicato nel punto
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58 . Consideriamo infine un sistema σ formato da più vettori paralleli, non tutti diretti nello stesso verso, e siano σ 1 e σ 2 due sistemi formati
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Più precisamente se v i ( i = 1, 2,…, p)sono le lunghezze dei vari vettori di σ 1, w j quelle dei vettori di σ 2, e poniamo
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Il più generale sistema di due soli vettori applicati in O, O', che rispetto ad O abbia il risultante R e il momento risultante M, si otterrà
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Ora qui importa rilevare che è questa la sola particolarità dei sistemi di vettori applicati in punti di una retta; cioè, se, data una retta a, si
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È infine chiaro che si avrà una arbitrarietà molto maggiore, quando si lasci cadere la condizione che il sistema sia costituito di due soli vettori
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Come i vettori funzioni dei punti di una linea costituiscono una immagine geometrica delle funzioni (vettoriali) di un parametro, così, secondo l'uso
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§ 10 . – Integrazione dei vettori .
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Dacché i punti d’applicazione A ed O dei due vettori della prima coppia distano r, e i vettori sono inclinati di ψ sulla verticale O A, sarà
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Ogni sistema di vettori equivale a sei vettori diretti secondo gli spigoli di un tetraedro dato ad arbitrio.
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Il valore assoluto del trinomio invariante di un sistema di due vettori è uguale al sestuplo del volume del tetraedro costruito sui due vettori.
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Un sistema di vettori, tutti situati in un piano, equivale a tre vettori diretti secondo i lati di un triangolo, comunque situato nel piano.
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Qualsiasi sistema di vettori equivale a due soli vettori, di cui uno situato sopra una retta arbitrariamente prescelta, purché non parallela alla
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Perché un sistema di due vettori sia equivalente ad un unico vettore è necessario e basta che i due vettori giacciano in uno stesso piano, senza
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rispettivamente equipollenti ai vettori v 1, v 2,…, v n del sistema
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9.Somma di punto e vettori.
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§ 2. - Somma di punto e vettore e di vettori.
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L’operazione che dà la somma di più vettori dicesi composizione dei vettori dati, i quali diconsi perciò (vettori) componenti del vettore somma.
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1 0 . Somma di vettori. - Dati n vettori v 1, v 2,…, v n e prefissato un punto O qualsiasi, si ponga
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Accademia della crusca
