Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
onde risulta che le rispettive componenti secondo gli assi sono date da
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Inoltre se, rispetto ad una data terna di assi, sono X, Y, Z le componenti di v, quelle di a v sono a X, a Y, a Z.
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Poiché i coseni direttori di codeste due direzioni orientate sono rispettivamente
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Le leggi di Keplero sono come è noto, le seguenti:
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Se i due vettori v 1, v 2 non sono fra loro ortogonali e sono entrambi diversi da zero, v 1 x v 2 è positivo o negativo, secondo che l'angolo dei due
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dove le α, β, γ, αi, βi, γi sono funzioni date del tempo, di cui le prime tre non sono soggette ad alcuna condizione, mentre le altre nove debbono
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7. Se più moti M 1, M 2,... sono traslatori, è tale anche il moto risultante, in quanto, essendo ad ogni istante equipollenti le -velocità di tutti i
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Di qui, integrando, si deduce che le equazioni della precessione regolare sono
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Se ne desume che le componenti cercate sono date dalle formule
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Esse sono pertanto
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Il caso in cui ω ed ω' sieno entrambe costanti (e inoltre diseguali, se le rotazioni sono concordi) si esaurisce immediatamente. Per quanto precede
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identiche alle (15) e (17), tranne lo scambio materiale di ζ, ζ' in ζ1, ζ'1. Esse sono quindi soddisfatte dalla coppia di curve ρ = f'(ζ' 1), ρ' = f
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Un pianeta dicesi interno od esterno (rispetto alla Terra) secondoché la sua traiettoria è interna od esterna a quella della Terra. Sono interni
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circonferenza mobile sono espresse in coordinate polari dell’equazione ρ = 2R (1 + cosζ), sono cioè delle cardioidi (caso particolare delle lumache di
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Consideriamo in secondo luogo il caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane sovrabbondanti. Se le (2), sono ancora le espressioni
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che sono in ogni caso contradditorie.
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le quali, in base alle (11), sono entrambe lineari non omogenee in
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Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, come accade pei sistemi rigidi, le configurazioni del sistema sono, nel loro complesso, le stesse in tutti
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basta ragionare ancora come al n. 9 e tener presente che qui devesi porre dt = 0, per concludere che gli spostamenti virtuali sono dati anche in
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il che implica l’annullarsi di δφj, onde si conclude che, a partire da una configurazione di confine, gli spostamenti virtuali sono in generale
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lagrangiane ql, q2,..., q n e sottoposto ulteriormente a vincoli, sia bilaterali che unilaterali, sia omogenei che no, sono caratterizzati da un sistema di
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sono le sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24, le linee di forza sono le rette della stella di centro O.
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Se le componenti di una forza posizionale sono del tipo
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Diremo che tre enti fisici sono dimensionalmente indipendenti se sono indipendenti nel senso stabilito or ora i loro tre coefficienti di riduzione.
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diremo che le tre grandezze sono indipendenti quando
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Esempio II°. – Non sono indipendenti velocità, forza e potenza perché • essendo
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si verifica subito che σ, v, ρ sono dimensionalmente indipendenti. Basta applicare il criterio del determinante delle dimensioni o notare che sono
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Ora i tipi più semplici di vincoli possibili per un punto sono i tre seguenti:
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È senz’altro manifesto che, se due vettori sono eguali, tali sono altresì le loro proiezioni su di una qualsiasi direzione (o giacitura).
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§ 2. - Indipendenza delle condizioni di equilibrio dal modo in cui sono realizzati i vincoli.
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Per i sistemi equilibrati formati da tre vettori, si può dimostrare che tali vettori sono necessariamente situati in un medesimo piano; e che le loro
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rispettivamente perpendicolari sono in equilibrio, se hanno lunghezze proporzionali ai rispettivi lati e sono tutti e tre diretti verso l'esterno o
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d) Prisma e cilindro. Consideriamo quante si vogliano sezioni parallele alla base; esse sono tutte eguali. I rispettivi centri di gravità sono punti
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Date le ipotesi, le quantità del secondo membro sono tutte conosciute.
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sono tutte zero: le prime tre, perché l'origine cade nel centro di gravità, le seconde tre (n. prec.), perché gli assi coordinati sono gli assi
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sono manifestamente piani principali, sicché gli assi principali sono le parallele ai lati e la perpendicolare al piano del rettangolo.
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I semiassi di tale sezione ellittica sono pertanto
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I corrispondenti raggi di girazione sono
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26. I momenti d’inerzia di un’ellisse omogenea rispetto agli assi sono
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Designamo a tale scopo con ξ0, η0, ζ0 le coordinate del baricentro Q 0 , rispetto ad Oxyz, le quali sono manifestamente indipendenti dal punto
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ossia le componenti del vettore ΔP, quelle del rapporto incrementale sono date da
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a) I solidi sono assolutamente indeformabili.
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e queste due condizioni sono compatibili solo a patto che sia δΛ = 0.
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Riassumendo, le derivate dei tre vettori fondamentali t, n, b sono fornite dalle formule seguenti:
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gli spostamenti virtuali sono caratterizzati dall’unica condizione
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Le U j sono in tal caso forme lineari omogenee nelle componenti d x, dy, d z di un generico spostamento virtuale di P. Supposto che si tratti un
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sono compatibili e indipendenti, tali risultano altresì le
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Un sistema articolato è costituito da quattro aste omogenee collegate a cerniera in P 2, P 3, P 4 mentre gli estremi P 1 e P 5 sono attaccati a due
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Ora le forze effettivamente applicate sono:
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Mostrare che non vi sono altri movimenti rigidi dotati di analoga proprietà.
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Accademia della crusca
