Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Se, in particolare, la poligonale si rinchiude, cioè se A n coincide con O, si ha l’identità, valida per n punti A 1 A 2,…, A'n quali si vogliano,
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si conclude che il moto è ritardato per cioè prima dell’istante (in cui, annullandosi la velocità sì ha un arresto), e da quell’istante in poi è
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la (24) si semplifica, divenendo (come quell’integrale della (23') che si annulla per t 1 = 0)
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19. Si dimostri che, dati sopra una retta quanti si vogliono moti armonici
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Se con una traslazione degli assi si trasporta l’origine nel fuoco (centro del moto) si ha
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che per V = 0 si riducono, com’è naturale, alle (6"), ove si ponga Θ = ωt.
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Le componenti sugli assi mobili del vettore ω, di cui si vedrà fra poco l’importante significato cinematico, si sogliono designare con p, q, r; cioè
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Si consideri in secondo luogo un moto rigido parallelo ad una giacitura fissa, quale si può realizzare costringendo un piano P solidale col sistema
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Si dimostri che, se non si annulla la somma ω delle velocità angolari ω1 + ω2… + ωn , il moto composto è ancora rotatorio uniforme di velocità
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Si suppone che, nell’istante considerato, non si annulli
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che del resto si può trarre direttamente dalle (20') stesse con un ovvio artificio (moltiplicandole rispettivamente per u x, u v, u z e sommandole
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33. Le (7) si riferiscono ad assi orientati in modo particolare. Si passa subito ad assi generici (sempre, beninteso, coll’origine in Ω), pensando
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e si identificano quindi colle (7) a prescindere dallo scambio materiale di αe α'. Le equazioni parametriche di una epicicloide rimangono pertanto
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Si ha così, in entrambe le ruote, fianco rettilineo e costa epicicloidale. L’ingranaggio si dice a fianchi rettilinei.
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cui si dà così luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane.
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Al fatto della costanza di variazione di velocità si collega quello che è costante il peso del grave, quali si siano le condizioni del moto: si è
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se si tratta invece di tempo medio Solare, come si usa solitamente, la durata del moto di rotazione diurna si trova espressa dal numero un po’ più
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che, ove si designi con v la velocità del moto (2) e si tenga conto della espressione dP = v dt dello spostamento elementare, si può esprimere nella
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onde si conclude che, se si pone
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In ogni caso, se si tien fisso t 0, e si lascia variare t, l'impulso I è una funzione (vettoriale) di t,che si annulla per t = t 0 e che ha per
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anziché λ3, come si richiederebbe perché si potesse applicare il teorema del n. 30.
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si diranno indipendenti se le equazioni (1) possono risolversi rispetto a x, y, z. Poiché per ciò è necessario e sufficiente che, prendendo i
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1. Si è visto al n. 16 del Cap. VII che affinché un punto materiale, durante un certo intervallo di tempo, si mantenga in equilibrio è necessario e
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In quest’ultimo caso, non si potrà desumere dalla enunciata condizione di equilibrio alcuna effettiva indicazione sul comportamento, in condizioni
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Il cono d’attrito si rinserra, per così dire, attorno alla normale, e la (2) si riduce allora a
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I punti, che così si corrispondono, si chiamano coniugati.
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la quale, ove si tenga conto della (6) del n. 4, si può scrivere
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r essendo costante, si trova immediatamente 2r2sinα. Se si osserva che 2rsinα è la lunghezza della corda AB, si ha da ultimo l’equazione
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l'indagine si semplifica coll’osservazione preliminare, che si può limitarsi a discutere due casi particolari, e precisamente:
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e quando si portano nella (16) questi valori di α, β, γ scompare anche Ί, e si ottiene
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Infatti, ove il piano di simmetria si prenda per piano z = 0, si ha
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Analogamente si definisce l’integrale della f (x)da a a b, quando la f (x) diventi infinita in a o in b; e, più in generale, la definizione si
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3° per un segmento di paraboloide (rotondo, si intende) ad una base, si ha, sempre nel polo,
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È infine chiaro che si avrà una arbitrarietà molto maggiore, quando si lasci cadere la condizione che il sistema sia costituito di due soli vettori
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Come si vede, quando si prescinde dall’attrito si vengono ad imporre alle forze attive condizioni esuberanti, e si garantisce, per dir così, la
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ed anzi si potrà senz’altro supporre che il peso si scarichi uniformemente sui 2n appoggi.
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26. Un solido pesante si appoggia per n (> 3) punti P i (i = 1, 2,..., n) sopra un suolo orizzontale. Ove lo si assuma per piano z = 0, si collochi l
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Si rifletta, invero, che ciascuna delle equazioni (5) e (6), in quanto riguarda due o tre forze applicate ad un medesimo punto e quindi aventi tutte
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Più precisamente, se si scrive per brevità y' al posto di e si nota che il ds può essere sostituito con si ottiene, moltiplicando da ultimo per dx,
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Lasciando da parte i sistemi a legami unilaterali (il che si fa abbastanza spesso anche senza esplicita menzione), non si hanno a considerare che
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79. Torsione. - Questo numero si dice torsione o seconda curvatura della curva nel punto che si considera.
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Si provi, applicando per es. il principio del Torricelli, che se si designano con α1, α2, le inclinazioni, sull’orizzontale P 1 P 5, delle prime due
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Nell’ipotesi che si tratti di un parallelogrammo articolato, φ si può assumere come coordinata lagrangiana.
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onde si conclude v r = cost.; e poiché per ipotesi v r si annulla nell’istante t 0 si manterrà costantemente eguale a zero.
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25. Se si nota che è una costante, e si pone
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Si noti che, se si tratta di azioni tangenziali, dirette nel senso in cui si contano gli archi, - F t d s risulta positiva, e la T va per conseguenza
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38. Secondo approssimazione. - Quando si tien conto di χ, si ha l’equazione vettoriale
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39. Proiettando la (20) sugli assi x, y, definiti al n. 35, e cambiando segno ai due membri, ove si noti che le componenti di g sono - g cosγ, - g
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Perciò in ogni considerazione cinematica (o, più in generale, meccanica) è necessario stabilire quale sia l’ente di riferimento; e se spesso si parla
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e se si sceglie un punto fisso qualsivoglia, p. es. l'origine O delle coordinate, si ha
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Accademia della crusca
