Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Nel primo la sarà positiva o negativa secondo che è cioè il moto sarà retrogrado prima dell’istante vale a dire nella fase ritardata; progressivo
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La gittata G, cioè la lunghezza (36) della corda OL sarà data da
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l’altezza del tiro, cioè la massima quota (35) raggiunta dal proietto, sarà data da
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L’equazione del moto vibratorio smorzato sarà la prima delle (41) cioè la
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vettoriale (P - 0) Λ v, la v sarà parallela a P - O o nulla; in ogni caso essa sarà rappresentabile sotto la forma m (P - O), dove m denota un conveniente
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Sarà allora manifestamente
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Scelto un qualsiasi punto O solidale col sistema rigido e indicatane con v 0 la velocità che per la (15) sarà data da
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, sarà naturalmente
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Dacché, per ipotesi, l’asse maggiore dell’ellisse λ ha la lunghezza Δ, di OO', sarà, per la proprietà focale dell’ellisse
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Perciò il luogo dei punti, pei quali nell’istante t si annulla l’accelerazione normale o la tangenziale sarà dato, sul piano fisso, rispettivamente
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Sarà ancora lo stesso per una forza generica F? Le più elementari esperienze conducono ad escluderlo, suggerendo però altre semplici ipotesi circa la
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dove I 0 designa un vettore costante e τ è la durata t 1 – t 0 dell’intervallo di tempo considerato. L’accelerazione, da cui sarà animato un punto
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18. Non sarà male osservare esplicitamente che, come già le aree e i volumi, così anche le velocità e le accelerazioni sono grandezze derivate solo
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Un lavoro L (somma di prodotti di forze per lunghezze) sarà un’espressione omogenea del tipo:
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e la cercata relazione tra le velocità V e v dei due piroscafi sarà
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per secondo sarà dato, in condizioni di similitudine meccanica, da
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e quindi la forma definitiva di r sarà:
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La relazione che esprime r sarà dunque del tipo
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Il rapporto sarà perciò un numero puro che indicheremo con ω2.
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e perciò la misura q' dell’ente Q, determinata nel mondo reale, sarà legata alla misura q, ricavata dal modello che potremo chiamare mondo in
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Per l’equilibrio sarà necessario e sufficiente che la somma geometrica di tutte le reazioni sia direttamente opposta alla forza attiva F.
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In particolare, se la superficie è priva di attrito, sarà necessario e sufficiente che la forza sia diretta secondo la normale alla superficie (nell
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Denotiamo ancora con S il campo geometrico (che sarà a due dimensioni o ad una soltanto) che si fa corrispondere ad una superficie o ad una linea
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Indichiamo al solito con μ la densità (per ipotesi, costante); e siano a, b, c le lunghezze dei tre spigoli. Sarà m =μab c.
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la massa totale. Sarà poi
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Detti a, b, c i semiassi del dato ellissoide, μ la densità, sarà il volume dell’ellissoide, e quindi
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e il raggio di girazione sarà
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Non sarà male osservare che si giunge evidentemente alla stessa espressione, anche scambiando l’ufficio dei due punti P e Q.
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Sia P un punto esterno alla sfera racchiusa dalla nostra superficie σ, ρ la distanza di P dal centro O. Sarà ρ > R, e, per conseguenza, ove si ponga
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con che sarà ε il termine tipico di prim’ordine e otteniamo manifestamente
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Perciò, in base al teor. del n. prec., esso sarà pur in equilibrio sotto la sollecitazione effettiva delle F e f equivalente a quella di sole forze
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onde l’ascissa del baricentro della scala e dell’uomo sarà data da
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Risulta di qui che in ogni caso si sarà condotti a tener conto esclusivamente di condizioni della specie b) del n. 2.
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sarà tutta contenuta nel piano verticale degli estremi.
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Siccome ogni avvolgimento importa 2π, così il numero degli avvolgimenti necessari sarà : con quattro giri lo scopo è esuberantemente raggiunto.
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Ma fra codesti due casi sussistono differenze sostanziali, su cui non sarà inutile trattenerci brevemente in questo n. e nel seguente.
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La configurazione di equilibrio sarà, per ragioni di simmetria, pur essa piana; e poiché anche qui si può ritener trascurabile il peso della verga
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la catenaria sarà assimilabile ad un arco di parabola e si potrà ritenere valida la relazione (26).
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Coi dati numerici precedenti, a = 1 km. non supera a 0. Prendendo la freccia più conveniente (cioè intorno ad un terzo di km.) quale sarà la massima
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e il lavoro complessivo delle forze attive per un qualsiasi spostamento virtuale δP i del sistema sarà dato da
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D’altra parte la condizione d’equilibrio (non essendovi spostamenti irreversibili) sarà l'equazione simbolica (1'), che nel caso attuale può essere
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Perciò la condizione parametrica dell’equilibrio, se F è la forza attiva totale, sarà espressa sotto forma vettoriale da
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Detta g l'accelerazione di gravità (in grandezza e direzione), sarà naturalmente a 0 = g, cosicché la forza di trascinamento χ = - m a τ equilibra il
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All’infuori di questo caso ovvio la forza centrifuga χ = mω2 (P - Q) sarà rappresentata da un vettore orizzontale non nullo.
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Detto ds* l’arco elementare di l*, proiezione dell’arco ds di l, sarà del pari
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Sarà così nostro compito di discriminare se b forma con k un angolo acuto od ottuso (ciò che individua, un senso sulla perpendicolare a t contenuta
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Designamone il momento, a priori indeterminato, con α. Sarà così γ + α il momento complessivo delle resistenze.
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in cui il primo termine sarà per lo più trascurabile di fronte al secondo.
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Dacché (n. prec.) k xt = cosϑ, per la perpendicolarità fra t e b, sarà
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Riferendoci alla (8), fissiamo due istanti quali si vogliano t e t + Δt: lo spazio Δs percorso da P nell’intervallo di tempo Δt così definito sarà
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Accademia della crusca
