Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Questa derivata rispetto al tempo dell’area descritta dal raggio vettore dicesi, per un’ovvia ragione, velocità areolare del punto rispetto al centro
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che è precisamente la derivata della velocità v rispetto al tempo, od anche, in quanto è la derivata seconda del punto rispetto a t.
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Di qui derivando rispetto a t si deduce
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45. Dalla (53) segue agevolmente che la velocità areolare di ogni moto centrale rispetto al centro O, è un vettore costante. Infatti, ricordiamo che
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che derivata due volte rispetto al tempo, dà
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La stessa proposizione si può dimostrare sinteticamente ricordando che la pedale (luogo dei punti pedali, cfr. es. 9) di un’ellisse rispetto ad un
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Sussiste invece la proprietà distributiva rispetto alla somma (geometrica):
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e derivarlo rispetto al tempo; onde si è condotti a considerare le derivate rispetto a t dei versori fondamentali mobili i, j, k. Esse sono fra loro
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si deducono, per derivazione rispetto a t, le identità
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Così, rispetto alla solita terna fissa, un moto rigido risulta determinato (a meno di opportune condizioni iniziali) quando, prescelto nel sistema
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cioè i vettori caratteristici, rispetto ad un dato polo, di un moto composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettori caratteristici
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resta individuata la posizione della terna Ωxyx rispetto alla Ωξηζ.
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e la proprietà distributiva rispetto alla somma geometrica
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Scrivendo prima, le componenti rispetto agli assi Ωξηζ, poi quelle rispetto agli assi Ωx yz, si ha per k
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Ben diverse circostanze si presentano nel caso cinematicamente più importante, in cui la nuova terna sia in moto rispetto alla primitiva e che qui
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assoluto il moto di P rispetto alla terna fissa, relativo quello rispetto alla terna mobile. Infine diciamo moto di trascinamento il moto rigido della terna
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2. In accordo colle locuzioni fissate al n. prec., distingueremo la velocità e l’accelerazione di P rispetto alla terna fissa da quelle rispetto alla
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naturale di valutare la velocità del viaggiatore rispetto alla circostante campagna, come la risultante della sua velocità rispetto al treno, e della
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rispetto a due riferimenti mobili fra loro.
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Per determinare la relazione intercedente fra v e v*, si consideri il moto M di S rispetto ad Σ come moto di trascinamento e il moto reciproco M* di
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Ciò posto, se il vettore v si immagina applicato in O, il rispettivo estremo libero P si muoverà, generalmente, rispetto ad entrambe le terne Ox 1 y
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Denotando con la derivata (assoluta) di v rispetto alla terna Ωξηζ, che anche qui, per comodità di locuzione, chiameremo fissa, e con o la derivata
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si ha cioè che se ω è costante (pel n. prec. è indifferente supporre questa costanza rispetto alla terna fissa o a quella mobile) la derivata di v 0
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Designate al solito con τ ed ω le velocità componenti di un moto rototraslatorio, e con v 0, ω i corrispondenti vettori caratteristici (rispetto ad
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3) come generato dal moto (di trascinamento) del profilo γ rispetto a Φ e dal moto (relativo) di Φ' rispetto a γ.
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2) come generato dal moto (di trascinamento) del profilo c rispetto a Φ e dal moto (relativo) di Φ' rispetto a c;
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§ 4. - Momento di un vettore applicato rispetto ad un punto e rispetto ad un asse.
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Dopo ciò è giustificata la definizione seguente: per momento M r di un vettore v applicato in A rispetto ad una retta orientata r intendesi la
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accezione generale (applicabile ad un moto piano qualsiasi) di luogo dei contatti di due profili coniugati rispetto al contatto delle traiettorie
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Dopo ciò, è giustificata la definizione seguente: per momento risultante di un sistema di vettori (applicati) rispetto ad una retta orientata r
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Ricordando (n. 12) che il risultante di più vettori ha per componente (rispetto ad un asse orientato qualsiasi) la somma delle componenti, dal n. 31
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che derivata rispetto a t dà l'equazione
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Tale formula può manifestamente interpretarsi nel modo seguente: il momento risultante del sistema rispetto a P' è la somma dell ’ analogo momento
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39. Due sistemi di vettori applicati σ e σ' diconsi equivalenti quando hanno eguale risultante ed eguale momento risultante rispetto a un dato punto
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o, rispetto a tre assi (stellari o fissi),
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La somma (algebrica) dei lavori di una forza rispetto a più spostamenti consecutivi è eguale al lavoro della forza rispetto al risultante degli
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In generale, se, rispetto ad un certo sistema assoluto di unità, Q è la misura di una quantità, che dipende non solo da un numero qualsiasi di
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Ciò vuol dire che l’equazione (18) deve essere omogenea di grado n 1 rispetto alle lunghezze, di grado n 2 rispetto ai tempi, di grado n 3 rispetto
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come variano i momenti d' inerzia rispetto ad assi concorrenti.
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22. Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti. - Determinato così come variano i momenti di inerzia, quando gli assi, a cui si riferiscono
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Formiamo poi il momento risultante M rispetto ad O.
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e derivando materialmente U, rispetto ai vari argomenti, si ha
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è una funzione di λ continua in tutto l’intervallo Λ; e se di più esiste la ed è pur essa finita e continua rispetto a Q in S e rispetto a λ in Λ
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avranno ciascuna momento nullo rispetto a codesta retta a. Ma per l’equilibrio è necessario che si annulli il momento risultante di tutte le forze
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Se i vettori di un sistema Σ sono tutti applicati in punti di una retta a, ciascuno di essi ha, rispetto alla a, momento nullo, cosicché riesce nullo
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ossia, esplicitando e risolvendo rispetto ad R,
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Esprimiamo ora che è nullo il momento risultante rispetto ad O. Questa relazione vettoriale si riduce ad una relazione algebrica, avendo tutti i
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dove designano le derivate di x, y, rispetto al tempo Nel seguito con punti sovrapposti al simbolo di uno scalare o di un vettore o di un punto
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Supposto di riferir la (11) alla terna Ωξηζ, otterremo l’espressione della velocità vettoriale derivando ambo i membri di codesta equazione rispetto
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Importa tener presente che tutto ciò vale sotto la essenziale condizione che la terna Ωξηζ sia fissa rispetto alla Oxyz ben altrimenti vanno le cose
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Accademia della crusca
