Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
§ 5. - Legge d’inerzia. - Massa.
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Codesto rapporto dicesi massa del punto materiale e si indica con m, cosicché l’equazione fondamentale (2) assume la sua forma classica
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; talché la massa indica il diverso grado di refrattarietà dei punti materiali a risentire gli effetti dinamici delle forze o, in altre parole, la loro
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che si usa nella pratica per calcolare la massa di un corpo di dato peso.
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1°. Conosciuto in qualche modo il moto di un punto materiale di data massa, cercare la forza atta ad imprimergli, come forza totale applicata, il
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, se F è la forza del campo in un dato posto (vale a dire quella che agisce sulla unità di massa ivi collocata), la forza da cui risulta sollecitata una
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In questo caso il vettore che rappresenta la forza del campo è il solito g, e su di un corpo (punto materiale) di massa m agisce, come sappiamo, il
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Codesto vettore m v dicesi quantità di moto del punto di massa m, animato della velocità v; onde la (12) può esprimersi dicendo che:
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si dovrà assumere come unità (ove si voglia derivarla da quelle precedentemente introdotte) la massa di un qualsiasi corpo per cui il rapporto testé
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E allora, per la massa che fu definita da noi (Cap. VII, n. 14) quale rapporto di un peso ad una accelerazione
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Come unità di massa si può, per es., adottare quella del campione, che precedentemente si assumeva per unità di peso: la massa cioè di un dm.3 di
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Volendo materializzare mediante un peso bisogna rendere uguale ad uno p = mg, ossia prendere un corpo di massa
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di lunghezza e di massa, si sostituiscono al metro ed al chilogramma il centimetro e il grammo (massa).
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Per una forza viva T (semiprodotto di una massa per il quadrato di una
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Infine quantità di moto (velocità per massa) e impulso (prodotto o somma di prodotti di forze per intervalli di tempo) rispondono entrambi alla
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le quali si deducono dalle equazioni stabilite al n. prec., sostituendovi al posto del simbolo m della massa la sua espressione (17).
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Se invece si adotta il sistema tecnico di unità, i coefficienti di riduzione della massa e delle altre grandezze dinamiche derivate son dati da
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§ 1. – Massa di un corpo.
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È questa la definizione pratica di massa di un corpo.
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base alla definizione del n. prec., si è condotti ad attribuire anche alla massa la proprietà additiva, per cui la massa di un corpo è eguale alla
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Pel punto materiale la nozione di massa è stata stabilita come rapporto fra il peso del punto e l’accelerazione della gravità (Cap. VII, 14).
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Perciò, se indichiamo con S il volume di un qualsiasi corpo omogeneo C, con m la sua massa e con ΔS e Δm il volume e la massa di una qualsiasi sua
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Questa nuova definizione, in quanto si fonda sul concetto di massa del punto materiale, conferisce alla massa di un corpo qualsiasi quel carattere di
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4. Per precisare analiticamente le legge di distribuzione della massa entro un corpo, occorre introdurre il concetto di densità.
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e questo rapporto non sarà altro che la massa dell’unità di volume della considerata sostanza materiale. Esso dicesi densità (o massa specifica) del
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e la massa m del corpo C si potrà rappresentare con l’integrale
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una massa ad un volume, e quindi di dimensioni lm -3; per le superficie materiali, si tratta del rapporto di una massa ad un’area colle dimensioni lm
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A tale scopo si definisca come momento statico di una massa m, localizzata in un punto, rispetto ad un piano π, il prodotto di m per la sua distanza
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Il significato apparisce senz’altro dalla (14): δ è la distanza dall’asse r, per cui una unica massa, eguale alla massa totale del sistema, possiede
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Per momento di inerzia di P (o, come si suol dire, della sua massa m) rispetto all’asse r, si intende il prodotto mδ2 della massa di P per il
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18. Definizioni. - Siano P un punto materiale di massa in m, r una retta generica, δ la distanza di P da r.
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e quindi, ricordando che la massa totale vale μab c
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la massa totale. Sarà poi
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più semplicemente, introducendo la massa totale m
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La massa totale m del cilindro è μπR 2 h, onde si può scrivere
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Se si nota che la massa m del tronco è
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che è manifestamente il potenziale unitario, cioè relativo alla forza,che sarebbe risentita dall’unità di massa, collocata nella posizione P.
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Si immagina al solito diviso C in porzioni Δ C , ciascuna delle quali si tratta come un punto materiale avente per massa la massa Δm della porzione e
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od anche, osservando che non è altro che la massa totale M della superficie sferica potenziante,
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È questo il potenziale newtoniano (rispetto al punto potenziato P) di una massa m, situata in O; donde il teorema: Una superficie sferica omogenea
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dove per altro m sta a designare l’intera massa potenziante, ossia la massa totale della crosta.
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È appena necessario osservare che, per ρ = K 1, ove si tenga conto che la massa totale m della crosta vale l’espressione (14) può essere scritta
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25. Riassunto per una sfera piena omogenea. - Rappresentino: R il raggio, μ la densità, con che la massa è data da
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L’attrazione a esercitata da un arco di circonferenza omogenea sul proprio centro è identica a quella di un’unica massa situata nel punto medio dell
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8. Dicasi A' l’attrazione che una data massa omogenea, atteggiata a sfera (piena) esercita in un punto qualunque della sua superficie; A quella
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elemento materiale del corpo come una forza infinitesima dell’ordine dell’elemento di massa o, ciò che è lo stesso, di volume (forze di massa).
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essendo m la Massa totale del sistema.
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La forza centripeta ha pertanto carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario (cioè riferito all’unità di massa) vale
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Risulta di qui che le posizioni di equilibrio relativo dipendono dalla forma geometrica della superficie e dalla velocità angolare, non dalla massa
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esercita (Cap. XI, n. 22) come se l’intera massa M fosse raccolta nel centro O. Il vettore G sarà pertanto diretto verso O, e la sua intensità
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Accademia della crusca
