Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
che, integrate, danno per le componenti della velocità v le espressioni
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Le leggi di Keplero sono come è noto, le seguenti:
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Designando con ξ, η, ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k rispetto
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i versori i e j avranno per le (13) le componenti
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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Designate con ξ, η, ζ e x, y, z le coordinate di P rispetto alle due terne ordinatamente, varieranno, durante il moto, in funzione del tempo tanto le
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Proiettando le (2) sugli assi fissi, si ottengono le equazioni del moto assoluto, le quali si presentano sotto la stessa forma delle (6) del Cap
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Se poi riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P, le
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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4. Se fra le 3N equazioni scalari (2') eliminiamo le n coordinate lagrangiane, otteniamo, nell’ipotesi che la (3) sia di caratteristica n
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Si indichino con M x , My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n
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È manifesto che le forze posizionali (7) e le forze di tipo (8) rientrano come casi particolari in quelle così caratterizzate.
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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In altre parole, in un campo conservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonali delle superficie equipotenziali.
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sono le sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24, le linee di forza sono le rette della stella di centro O.
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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18. Non sarà male osservare esplicitamente che, come già le aree e i volumi, così anche le velocità e le accelerazioni sono grandezze derivate solo
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cosicché per grandezze meccaniche, le quali abbiano rispetto a lunghezze, tempi e masse le dimensioni n 1, n 2, n 3, il rapporto
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Così in particolare, per le forze di propulsione F ed f (n 1 = 1, n 2 = -2, n 3 = 1) e per le potenze Π e π (n 1 = 2, n 2 = -3, n 3 = 1) varranno le
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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Date le ipotesi, le quantità del secondo membro sono tutte conosciute.
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poiché, per due masse . simmetriche rispetto al piano z = 0, le m i, x i, y i sono le stesse, mentre le z i hanno valore eguale e segno opposto
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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con analoghe formule per le variabili y e z. Sommando le tre derivate seconde e tenendo conto che
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In base a tale corrispondenza biunivoca tra i vettori e le terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi le coordinate del vettore v rispetto alla
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Giova notare che, in particolare, per un vettore unitario le coordinate o componenti coincidono, per le (3), coi rispettivi coseni direttori.
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Le condizioni di quilibrio (1) o (1') implicano tanto le F , quanto le Φ. Ma in generale i dati direttamente conosciuti sono le forze attive F e le
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Le forze in giuoco saranno in istato di equilibrio limite rispetto al rotolamento, talché ogni appoggio offrirà il massimo momento di rotolamento di
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Risposta. - Le condizioni complessive, richieste per l'equilibrio astatico, sono (con evidente significato delle notazioni) le 12 seguenti:
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Le incognite R riescono così positive (essendolo le M e di conseguenza le p). Dato il significato di intensità loro attribuito, questo doveva
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Le (5) diconsi equazioni indefinite dell’ equilibrio, le (6), relative ai nodi estremi, equazioni ai limiti.
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poiché le (6) contengono, si può dire, soltanto la definizione di due ulteriori incognite (le azioni F 1 ed F n subite dai nodi d’attacco P 1 e P n
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12. Ciò premesso, riprendiamo l’ipotesi che siano fissate le posizioni dei due estremi P 1 P n e, interpretando, come è lecito, le n - 2 forze
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Ora assumendo la φ come incognita ausiliaria, siamo anzitutto in grado di esprimere per φ e per le incognite principali α1, α 2,..., αn-1 le
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Le (16), (17) danno nel loro complesso le volute condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio.
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Varranno per l'equilibrio di una verga le equazioni (40)-(42) del n. 42, di cui, per comodità riscriviamo qui le indefinite
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le quali, per una verga piana, rispetto al cui piano si possano ritenere simmetriche tanto le sollecitazioni quanto le azioni molecolari, si riducono
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1. Per stabilire le condizioni di equilibrio di un sistema materiale S di natura qualsiasi, quando si conoscano i vincoli e le forze attive cui esso
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Per queste analogie (e per altre che tosto indicheremo) fra le X i, Y i, Z i e le Q h, queste ultime quantità scalari si sogliono chiamare le
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26. Fissiamo l'attenzione sulle n quantità scalari Q h definite dalle (11). Da queste equazioni si desume anzitutto che le Q h risultano nulle tutte
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In particolare, la sollecitazione si dirà puramente posizionale quando le F i dipendono esclusivamente dalla configurazione del sistema, cioè dalle
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da, cui, sfruttando le (40), (42) e le identità b Λ n = - t, si ricava
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onde si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (15'), (16'), le F i definite dalle (19) soddisfano
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Di qui concludiamo che, come si era preannunciato, le (19) forniscono (subordinatamente alle restrizioni μi ≥ 0 che riflettono le condizioni non
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Perciò, tenendo conto delle (19), otteniamo per le reazioni le espressioni generali
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Così la regola del n. prec. risulta estesa a sistemi materiali quali si vogliano, a condizione che le forze interne e le reazioni vincolati
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Una tale disuguaglianza è certo verificata dalle nostre T A e T B. Noi le abbiamo infatti determinate, combinando le due equazioni
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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Ciò premesso, ricordiamo che fra le funzioni (16) e (17) sussistono le note relazioni
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