Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Per stabilirle nel modo più elementare, si riferiscano i tre vettori dati ad una terna ortogonale e, indicate con X i, Y i, Z i, (i = 1, 2, 3) le
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D’altra parte quando l si trova in contatto con λ in I, per l’eguaglianza dei due archi I 0 I' ed I 0 I , è proprio I' che va a cadere in I. Con ciò
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e uguagliando i momenti risultanti rispetto ad I e osservando che le distanze Γλ I, C l I non sono altro che i raggi di curvatura ρλ ed r l di λ ed l
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Immaginiamo di congiungere I con O', e prolunghiamo la I O 1 oltre I di un segmento I O'1 = I O.
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e quindi I O 1 = I O'. Dall’eguaglianza dei triangoli I OO 1, I O'1 O', segue poi O'O'1 = OO 1.
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I O + I O'1 = Δ
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(2) P i = P i (q l, q 2,... , q n |t). (i = 1, 2,... , N).
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Se x i , y i , z i sono le coordinate del punto P i rispetto ad una terna scelta come riferimento del sistema, le equazioni geometriche (2) si
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P i = P i(q) (i = 1, 2,... , N)
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le componenti dx i, dy i, d z i secondo gli assi dello spostamento di ogni singolo punto P i in un generico spostamento possibile del sistema sono
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14 .Per distinguere gli spostamenti virtuali dai possibili, i primi si designano con la lettera δ anziché colla d, talché, dato un sistema olonomo
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Sia dato allora un sistema di vettori applicati v i =B i - A i (i= 1,2,…, n) e si ponga:
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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I = I 0.
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se x i, y i, z i designano le coordinate dei punti P i del sistema e x 0, y 0, z 0 quelle del baricentro G.
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Designando quindi con x i, y i, z i le coordinate di un punto generico P i del sistema S, quelle della sua proiezione Q i sulla retta r (intersezione
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I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio. Essi (come apparisce direttamente dalla (16) ponendovi ordinatamente α, β, γ eguali ad 1, 0, 0; 0
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poiché, per due masse . simmetriche rispetto al piano z = 0, le m i, x i, y i sono le stesse, mentre le z i hanno valore eguale e segno opposto
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Ί = Σi m i d 2 i,
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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di punti potenzianti Q i (i = 1, 2…, n); cosicché dette m i le rispettive masse, x i, y i, z i le coordinate, r i le distanze da P, avremo per ognuna
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Poiché l’attrito in ogni singolo appoggio, in cui sia N i la intensità della rispettiva reazione normale ed f i il corrispondente coefficiente di
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26. Un solido pesante si appoggia per n (> 3) punti P i (i = 1, 2,..., n) sopra un suolo orizzontale. Ove lo si assuma per piano z = 0, si collochi l
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(2) Φ i = k i (λx i + μ x i + v) (i = 1,2,…, n)
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(dove i coefficienti λ, μ, v sono a priori indeterminati) ed esprimendo che essa è soddisfatta dalle coordinate x i, y i, z i di un generico punto P
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Importa ancora osservare che, quando uno sforzo Φ i·i+1 (o Φ i+1·i) ha carattere di tensione, l’ordine i, i + i (o, rispettivamente, i + 1, i) degli
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(5) F i - Φ i-1·i + Φ i·i+1 = 0
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ciascun nodo intermedio P i (i = 2, 3,..., n-1) agiscono tre forze, cioè la F i , e le due forze provenienti dalle due aste P i-1 P i e P i P i+1, che
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ed inoltre il sistema di forze esterne F 1, F 2…, F i (per i =1, 2…n -1), avendo momento risultante nullo rispetto al nodo P i , è vettorialmente
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e si ricordi che i due vettori due vettori applicati F i e Φ i·i+1 hanno entrambi per origine il punto P i (il primo per definizione, il secondo per
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Di qui si conclude che le coordinate x i y i di ogni singolo punto P i (i = l, 2,…, e) soddisfano all’equazione
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ossia sostituendovi ad i -1 e i - 2 i valori ricavati dalla prima delle (13),
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Inoltre, fissati a piacimento due punti A i, e B i+1 fra P i e P i+1, (nell’ordine scritto), il tratto di filo A i B i+1 dovrà trovarsi in equilibrio
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In modo analogo diremo Φ i+1·i la tensione che si esercita in A i , la quale deve essere diretta, nel verso P i+1 P i, avere intensità indipendente
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Esprimiamo infatti che è in equilibrio un elemento di filo B i P i A i comprendente il punto P i (i = 2, 3,... n - 1). Immaginando B i ed A i
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Diciamo P 1 e P n i due estremi, P 2 P 3..., P n -1 i punti intermedi, cui sono applicate forze, e designiamo al solito con F i , la forza applicata
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Per riconoscere se e sotto quali condizioni il filo può trovarsi in equilibrio, notiamo, anzitutto, che per l’ammesso postulato, i singoli tratti P i
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dei singoli tratti P i P i +1 (i = 1, 2,…, n - 1).
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5. Ciò premesso, consideriamo un generico sistema di punti materiali P i (i = 1, 2,..., N) soggetti a vincoli privi di attrito e indipendenti dal
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A tale scopo, ricordiamo anzitutto che, ove si introducano le reazioni vincolari R i , i punti P i del sistema si comportano come altrettanti punti
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In un generico spostamento virtuale del sistema siano dx i, d y i, d z i le componenti dello spostamento d P i subito da P i.
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Ove si supponga l’asse delle z verticale e diretto verso il basso, e sia m i la massa di un generico elemento P i, la forza F i applicata in P i avrà
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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28. Proseguendo nella enunciazione delle analogie fra le X i, Y i, Z i e le Q h , premettiamo che una sollecitazione F i (i = 1, 2,..., N) di un
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si conclude, identificando i coefficienti dei differenziali (arbitrari eindipendenti) d x i, d y i, d z i, che essa è equivalente alle 3N identità
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I primi membri di queste r + s relazioni risultano, a calcoli fatti, funzioni lineari omogenee delle componenti d x i, d y i, d z i degli spostamenti
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R i = - F i (i = 1,2…., N).
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le componenti - λ1 a'1.i, - λ1 a''1.i, - λ1 a'''1.i della reazione da esso determinata su P i son date da
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essendo ω la velocità angolare, e B' e C' i prodotti di inerzia Σi m i x i z i , Σi m i y i z i.
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(7) q i = q i(t) (i = 1,2,… , n).
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Accademia della crusca
