Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Se il moto si riferisce ad una terna avente per origine il punto O, la velocità areolare ha per componenti secondo gli assi (I, n. 24)
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onde risulta che le rispettive componenti secondo gli assi sono date da
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cambino gli assi di riferimento, purché sian fissi gli uni rispetto agli altri: e questo asserto si può anche giustificare con un’analisi più precisa
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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La stessa conclusione vale naturalmente anche per gli ingranaggi a fianchi rettilinei, dacché questi (n. 64, b) rientrano nei precedenti come caso
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dove son le componenti secondo gli assi fissi della velocità v 0 dell’origine mobile O.
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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C', infinitamente vicina a C e relativa all’istante consecutivo t + dt, dando nelle (2) alle q h, e a t gli incrementi arbitrari (e fra loro
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Di qui sviluppando i secondi membri, sottraendo membro a membro le (2) e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si deduce
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Di qui, sviluppando i primi membri, sottraendo membro a membro le corrispondenti (4') e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo
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14 .Per distinguere gli spostamenti virtuali dai possibili, i primi si designano con la lettera δ anziché colla d, talché, dato un sistema olonomo
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La (16') che dà il complesso di tutti gli spostamenti virtuali si riduce quindi
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rimangono vincolati gli spostamenti possibili del sistema. Così accade ad esempio per un solido vincolato a muoversi rotolando, senza strisciare
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e questa rappresenta un’effettiva limitazione per gli spostamenti del sistema.
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Si ha dunque che i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali soltanto a partire dalle configurazioni di confine.
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irreversibili gli spostamenti che tendono a staccarlo da σ (dalla parte consentita dal vincolo), reversibili gli ∞1 spostamenti tangenziali. Per due
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21. Aggiungiamo un’ultima osservazione. Vedemmo che pei sistemi olonomi tutti gli spostamenti virtuali sono reversibili: ora, poiché i vincoli
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Gli spostamenti virtuali rimangono allora sottoposti a condizioni del tipo
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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Uguagliando gli esponenti nei due membri, si vede intanto che dovrà essere γ = 1 e quindi
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Questa formula mostra che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello, per cui il momento di inerzia è minimo, passa per il centro di
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Gli assi dell’ellissoide d’inerzia si chiamano assi principali d’ inerzia relativi al punto considerato.
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sono tutte zero: le prime tre, perché l'origine cade nel centro di gravità, le seconde tre (n. prec.), perché gli assi coordinati sono gli assi
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totale) gli elementi determinativi dell’ellissoide centrale, cioè gli assi e i momenti (o i giratori) principali relativi al centro di gravità. Sono
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Poniamo in O l’origine delle coordinate, e dirigiamo gli assi secondo gli spigoli, con che le equazioni delle sei facce sono
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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Infatti, se si designano con Δx, Δy, Δz gli incrementi
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Ma devono pur farsi equilibrio le forze orizzontali, cioè la reazione d’attacco e gli attriti negli appoggi, il che si traduce nella relazione
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Se si ammette inoltre che il cedimento degli appoggi non sia collegato con alcuna, deformazione del corpo sovrastante, gli n punti, con cui il corpo
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Procedendo in modo analogo per tutti gli altri nodi e per tutte le altre aste, si conclude che la sollecitazione data Σ è staticamente equivalente
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Diciamo P 1 e P n gli estremi di una delle due gomene, P 2 P 3..., P n -1 i punti di attacco dei tiranti.
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21. Per scindere l'equazione vettoriale (16) nelle sue componenti secondo gli assi, ricordiamo che la tensione T è un vettore tangenziale alla
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Per la determinazione delle quattro costanti arbitrarie, valgono gli stessi criteri indicati ai nn. 21, 22, adattati, beninteso, al caso di un
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Ricordando che ogni segmento orientato nullo, cioè avente gli estremi coincidenti, rappresenta il vettore nullo, si scriverà, coerentemente,
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dove, naturalmente, significa il rapporto fra gli incrementi delle coordinate, lungo la funicolare, corrispondenti ad un incremento ds dell’arco.
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talché, nella immediata prossimità di P gli sviluppi tayloriani di x, y assumeranno la forma
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13. In un arco di catenaria gli estremi si trovano allo stesso livello. Se a designa la portata, il valore massimo τ di T è [formule (31) e (33)]
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valendo i segni superiori o gli inferiori secondoché si tratta di elica destrorsa o sinistrorsa.
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dove per gli spostamenti reversibili devesi assumere il segno di uguaglianza, mentre per gli irreversibili può valere l’uno o l’altro segno.
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più forte ragione manterrà in equilibrio S 1. Infatti gli spostamenti virtuali di S 1 sono tutti compresi fra quelli di S; dunque se la (1) è
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valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili.
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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dove gli a k.i, a i.i, denotano (r + s) N vettori determinati (puramente posizionali).
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gli spostamenti virtuali sono caratterizzati dall’unica condizione
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sappiamo che la conseguente limitazione per gli spostamenti virtuali
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6. Rotazioni e rototraslazioni uniformi. - Forza centrifuga. - Gli assi di riferimento siano invece animati da un moto rotatorio uniforme.
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Ogni sistema di vettori equivale a sei vettori diretti secondo gli spigoli di un tetraedro dato ad arbitrio.
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Fissato l’intervallo di tempo Δt fra gli istanti t e t + Δt, e considerato lo spazio Δs percorso da P in codesto intervallo, cioè
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della traiettoria e per componenti gli scalati
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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Accademia della crusca
