Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Si è così condotti ad integrare il sistema di equazioni differenziali del 2° ordine
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e le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
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Un’ulteriore integrazione dà le equazioni del moto
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onde le equazioni del moto di P ove si ponga
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Componendo i due moti di P 1 e P z, avremo pel moto composto le equazioni
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Quadrando e sommando le prime due equazioni (60) si trova:
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Son queste le equazioni generali di un moto rigido.
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che manifestamente coincidono colle componenti delle equazioni vettoriali (10), (12).
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, 3) le rispettive componenti, le equazioni caratteristiche (14) si traducono, in virtù della (17), nelle equazioni (7) del n. 8.
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rispetto a Oξ, che deve annullarsi con t, sarà data da Θ = ωt. Perciò le equazioni del moto di P 1 si otterranno ponendo Θ = ωt nelle prime due equazioni (6
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Di qui, integrando, si deduce che le equazioni della precessione regolare sono
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cosicché le λ, μ son definite dalle equazioni
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le due equazioni divengono
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Ciò premesso, le equazioni delle due rette CC l e ΓΓλ, come congiungenti dei punti
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a) Equazioni parametriche.
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le equazioni divengono:
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Negli intervalli di tempo in cui si mantiene diverso da zero, le (23), (23') forniscono le equazioni parametriche rispettivamente della base λ e
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Se x i , y i , z i sono le coordinate del punto P i rispetto ad una terna scelta come riferimento del sistema, le equazioni geometriche (2) si
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4. Se fra le 3N equazioni scalari (2') eliminiamo le n coordinate lagrangiane, otteniamo, nell’ipotesi che la (3) sia di caratteristica n
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cui si dà così luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane.
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15. Spostamenti virtuali di un sistema rigido. - I vincoli di rigidità, in quanto sono espressi da equazioni della forma
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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§ 9. - Equazioni differenziali del moto di un punto.
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ossia, rispetto a tre assi fissi, alle tre equazioni differenziali del 2° ordine
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In ogni caso eseguendo nelle due prime equazioni differenziali del moto (13') le sostituzioni (14), si riduce il problema alla integrazione delle due
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si diranno indipendenti se le equazioni (1) possono risolversi rispetto a x, y, z. Poiché per ciò è necessario e sufficiente che, prendendo i
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che, proiettate sugli assi di una terna di riferimento, danno luogo alle sei equazioni scalari
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Le equazioni (1) od (1'), che, come si è visto, esprimono condizioni necessarie per l'equilibrio di ogni possibile sistema materiale, diconsi
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Concludiamo, dunque, che pei solidi l'equilibrio è caratterizzato dalle due equazioni vettoriali (1), o dalle sei equazioni scalati equivalenti
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mentre il punto C, come intersezione delle due rette P 2 B, P 1 D di equazioni, rispettivamente
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il sistema delle quattro equazioni può esser scritto
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Le (5) diconsi equazioni indefinite dell’ equilibrio, le (6), relative ai nodi estremi, equazioni ai limiti.
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funicolare da P 1 a P n) formano coll’asse orientato delle x; e notiamo subito che per determinarle dovremo ricorrere alle equazioni (5), (6) dell
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La proiezione delle (5) sull’asse y (verticale e diretto verso l’alto) dà perciò luogo alle equazioni
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26. Trovate così le equazioni indefinite dell’equilibrio, procediamo all’integrazione.
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§ 4. - Equazioni intrinseche dell’equilibrio dei fili
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Per discutere siffatte circostanze riprendiamo le equazioni intrinseche
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46. Le equazioni indefinite (43) del n. prec., ove si riferiscano al triedro principale t, n, b della direttrice, assumono una forma sotto cui esse
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si spezzano nelle sei equazioni scalari:
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ossia, tenendo conto della seconda delle equazioni ai limiti (42'),
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3.° che il valore numerico di a 0, in funzione di τ0, si ricava dalle due equazioni
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la quale, per l'arbitrarietà dei coefficienti v p, si spezza nelle n equazioni
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È ben noto come questi nove coseni siano caratterizzati dal sistema di sei equazioni
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Le equazioni assumono così l’aspetto
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) e che ammette le (2) come equazioni parametriche. Eliminando t fra le (2) si ottiene la rappresentazione della traiettoria mediante due equazioni in x
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La (1) o, indifferentemente, le sue componenti (2) diconsi equazioni (finite) del moto del punto P.
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7 . É manifesto da quanto precede che il moto di un punto P è perfettamente determinato tanto dalle equazioni del Moto (2), quanto da una
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che, integrate, danno le equazioni del moto sotto la forma
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Queste equazioni si possono raccogliere nell’unica equazione vettoriale
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si potran dire le equazioni del moto in coordinate polari.
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Accademia della crusca
