Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Integrando la (23) otteniamo l ’ equazione oraria del moto
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onde l’equazione della traiettoria assumerà la forma
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Ma dal Calcolo sappiamo che un’equazione differenziale del 2° ordine ammette precisamente ∞2 soluzioni o integrali particolari,ossia che l'integrale
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L’equazione del moto vibratorio smorzato sarà la prima delle (41) cioè la
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Otteniamo così la equazione lineare a coefficienti costanti
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Cominciando con alcuni richiami di Calcolo, ricordiamo che ogni equazione differenziale lineare del 2° ordine nella funzione incognita x della
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e quindi la (49') si trasformi nella equazione
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la z deve soddisfare all’equazione algebrica di 2° grado
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e questa equazione oraria, mentre per h > 0 o h = 0 si identifica con quella già nota dei moti oscillatori smorzati o, rispettivamente, dei moti
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È questa l'equazione cartesiana del piano su cui P si trova costantemente.
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cosicché alla equazione precedente si potrà dar la forma
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22. Velocità di un moto rigido generale. - Derivando rispetto a t l'equazione geometrica
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si ottiene, sostituendo nella (29), l'equazione vettoriale
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onde, confrontando colla equazione precedente, si conclude
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L’equazione
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si ottiene una equazione lineare in u z che, risolta, dà intanto
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Notiamo infine che, per quanto ridotto a determinare due soluzioni, od anche una sola della, equazione di Riccati (25'), il problema non è esaurito
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onde risulta Θ - cost., e quest’equazione caratterizza appunto una retta per O.
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Suppongasi λ individuata mediante la sua equazione in coordinate polari
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Tenuto conto della equazione di λ e della (15) si ricava
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che derivata rispetto a t dà l'equazione
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13. Come immediata conseguenza dell’equazione
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14. A precisare ulteriormente il significato e la portata della equazione fondamentale
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21. Riassunti i principi della Meccanica del punto materiale nella equazione fondamentale
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ed n 1, n 2, n 3 si chiamano le dimensioni di Q; mentre l'equazione simbolica testé scritta dicesi equazione delle dimensioni della grandezza Q.
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Ne consegue l’equazione
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onde, si ricava subito per il potenziale U l’equazione
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L’equazione (1) si suol scrivere compendiosamente
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[La latitudine λ del parallelo in questione verifica l'equazione ].
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Comunque, prendendo l’equazione del piano sotto la forma
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Eliminando T dalla seconda equazione per mezzo della prima, si ottiene
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e questa equazione combinata per sottrazione e per somma con la (29), dà
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l’equazione (31) della catenaria si riduce a
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Di qui integrando lungo la direttrice da P' a P'' si deduce l’equazione
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Sussisterà inoltre, in condizioni statiche, la seconda delle (43), cioè l’equazione
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e si chiama l'equazione simbolica della Statica.
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Sarebbe un utile esercizio il ritrovarle, dando forma esplicita all’equazione simbolica
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Perciò l'equazione simbolica della Statica fornisce la condizione di equilibrio
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Poiché questa equazione si può scrivere esplicitamente sotto la forma
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Ora se applichiamo al sistema S 1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un siffatto spostamento DP i (e, come si è detto, alla
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Ci basterà all’uopo combinare l’equazione fondamentale della dinamica
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L’equazione che definisce ψ assume così l’aspetto
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Più in generale dimostrare che se ρ = ρ(ϑ) è l’equazione di una curva piana in coordinate polari, l’equazione geometrica
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Se indichiamo con v questa costante, l’equazione oraria assume la forma
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10. Il diagramma, orario di un moto uniforme di equazione
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Qui, viceversa, osserviamo che, se un moto è a velocità costante v, dalla equazione
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Riprendendo l’equazione del moto di un punto P
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Queste equazioni si possono raccogliere nell’unica equazione vettoriale
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che si sarebbe potuta ottener direttamente per integrazione della equazione differenziale vettoriale
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Sottraendo membro a membro questa equazione dalla (14), otteniamo
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Accademia della crusca
