Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
L’algoritmo più espressivo e più agile per la impostazione e la discussione matematica di molti problemi della Meccanica (e di altre teorie fisiche
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Se A e B coincidono, il segmento AB si riduce all’unico punto A e dicesi segmento nullo. In tale ipotesi la linea di azione e il verso risultano
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La prima è diretta lungo la tangente, nel senso delle s crescenti o in senso contrario, secondo che è : la seconda, in quanto lo scalare è
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In secondo luogo, prefissate una direzione e una giacitura non appartenentisi, si considerino per A la r retta e il piano aventi rispettivamente
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e si riducono (proporzionalmente) al l a frazione e delle antiche. Ricordando le espressioni delle componenti della velocità e dell’accelerazione per
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Per precisare quali alterazioni cinematiche avvengano nel moto di P x a intervalli di tempo torniamo per un momento al punto P e ricordiamo che ad
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Se quest’equazione ha due radici distinte z1,z2 cioè se sì ottengono così le due soluzioni particolari e e z 1 t, e z 2 t; talché l’integrale
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Indicando infatti con T la durata della intera rivoluzione, e ricordando che c è il doppio della velocità areolare, è manifesto che l'area πab dell
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8. Dimostrare che, se in un moto piano sono costanti le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione, la traiettoria è una spirale logaritmica
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È manifesta la stretta relazione che lega un vettore ruotante e il corrispondente vettore alternativo col moto circolare uniforme e col moto armonico
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e mentre il versore fondamentale k (diretto secondo l’asse positivo z = ζ) è costante e di componenti
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È manifesto, che in quanto l'origine della terra Oxyx si sa già localizzare nel modo più semplice mediante le sue coordinate, si può limitarsi a
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2. Due segmenti orientati diconsi equipollentiquando hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso; onde, nel caso dei segmenti
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Se poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di
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In un intervallo parziale della prima specie il moto rigido è traslatorio e tutti i punti del sistema S descrivono, con la medesima legge temporale
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b) B' è allineato con A e B e coincide con A. In tal caso, basta al nostro scopo far ruotare il piano di 180° intorno al punto medio di AA' (e di BB').
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Sotto l'aspetto b) l'atto di moto ausiliario si ottiene componendo l’atto di moto rigido dato, che ha il polo istantaneo I e una certa velocità
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In fig. sono rappresentate le λ e γ e (per una determinata posizione di F) le curve solidali l e c rispettivamente tangenti a λ e γ nel centro
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Immaginiamo assunto come profilo c (solidale colla figura mobile, e quindi colla circonferenza l) un arco di epicicloide, avente l per base e per
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onde si desume (n. 25) che M, è positivo o negativo secondo che la terna u, A-P e v è destrorsa, o sinistrorsa, cioè secondo che v è destrorso o
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Una zattera Z poggia su rulli e viene spinta. Ogni qualvolta il carico e di conseguenza l’attrito sieno abbastanza rilevanti, si determina un puro
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Se poi lo spostamento è ortogonale alla forza, il lavoro è nullo; e, viceversa, se una forza (non nulla) per un dato spostamento dà un lavoro nullo
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Sotto questo rispetto dicesi fondamentale o primitiva l'unità delle lunghezze, in quanto è scelta in modo del tutto arbitrario e convenzionale
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Ora g, come accelerazione, è, rispetto alle lunghezze e ai tempi, di dimensioni 1 e -2, talché T non può essere funzione se non del rapporto che è
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e si conclude che se di una macchina Ω si è costruito un modello ω, geometricamente e materialmente simile, e se di più è soddisfatta la condizione
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È noto che è il quadrato della velocità u del suono nel mezzo che si considera, e con ciò è reso manifesto il significato di
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Se dunque è p il peso del grave, τ0 la corrispondente trazione limite, il rapporto non dipende dal peso considerato o dalla forma od estensione della
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Ciò posto, se è T > f N,o, in altre parole, se la forza è esterna al cono Γ, nessuna delle superficie passanti per c e aventi il coefficiente di
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dimostrarlo, diciamo E il punto medio del lato BC, e guidiamo DE e AE. I baricentri H, K dei due triangoli BCD e ABC si trovano su queste due mediane ad un
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È questa l’equazione della superficie E; onde si conclude che si tratta di una superficie del secondo ordine e, più precisamente (poiché sappiamo che
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è una funzione di λ continua in tutto l’intervallo Λ; e se di più esiste la ed è pur essa finita e continua rispetto a Q in S e rispetto a λ in Λ
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è manifesto che se il punto potenziato P (x, y, z) va a sovrapporsi o tende ad un punto Q (ξ, η, ζ) del corpo agente, la funzione integranda diventa
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Ove si noti che e sono coseni direttori (di P - O, rispettivamente) e si ricordi quanto è stato rilevato circa il comportamento della 9 e delle sue
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Conserviamo la Φ e, come sistema equivalente alle F e alle f (le quali ultime nel loro insieme son già equivalenti a zero) assumiamo l’unica forza R
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Per l’equilibrio è necessario e sufficiente che codesta forza p e le due reazioni Φ 1 e Φ 2 in P 1 e P 2 costituiscano un sistema equilibrato, ossia
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Ora è bensì vero che le reazioni di appoggio Φ sono incognite, e tale è quindi il loro momento risultante M'a; ma, siavi o no attrito agli appoggi è
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Codesto fattore h si suol chiamare coefficiente o, meglio, parametro di attrito volvente; e, a differenza del coefficiente f d’attrito radente, non è
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con che k è una frazione propria, e
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Con tale convenzione il dx (incremento che subisce x per incremento positivo ds dell’arco) è essenzialmente positivo e dà quindi (in valore e segno
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e basta notare che nel punto più basso è T = φ, per concludere che la costante è nulla e per ritrovare l'equazione
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Lo sforzo che si manifesta in tal modo su di ogni generico elemento della superficie σ è a ritenersi infinitesimo dell’ordine stesso dell’elemento di
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Infatti, per ogni spostamento irreversibile, il quale cioè sia diretto verso l’esterno, la reazione e lo spostamento formano un angolo acuto e il
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23. Bilancia del Quintenz. - La struttura cinematica di una tal bilancia è schematicamente la seguente: Un giogo AB, mobile intorno ad un suo punto O
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e, viceversa, è chiaro che, se sono soddisfatte queste equazioni, risulta pur soddisfatta la (10') e quindi la (10) per qualsiasi scelta delle δq h
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6. Un’asta AB è girevole attorno ad A in piano verticale. Una seconda asta è articolata in B, e liberamente girevole nello stesso piano verticale. Le
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dell’argomento ψ, finita e continua per ψ compreso fra O e π/2 estremo superiore escluso). La sua derivata è
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che è condizione necessaria di equilibrio relativo, cioè di aderenza, fra la tane e la carrucola ruotante, e in particolare
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su pulegge di ghisa), e è molto prossimo a 2, e quindi si può sostituire alla (17) la
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dove O è un punto fisso ed r una costante positiva, è la circonferenza di centro O e raggio r.
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e il moto di P è univocamente determinato dal moto di P 1 sul piano z = 0 e dal simultaneo moto di P z sull’asse z, giacché, istante per istante, la
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Accademia della crusca
