Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Poiché dalle (18) del n. prec. risulta
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A intervalli di tempo il punto P riprende la medesima posizione, con la stessa velocità e la stessa accelerazione, comerisulta dalle (38), (39), (40
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Discende dalle osservazioni fatte in principio di questo num. che i segmenti
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Così, in particolare, i versori fondamentali di una terna cartesiana (ortogonale) di assi sono caratterizzati dalle sei relazioni
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non è inutile notare che, di qui, ovvero dalle equazioni vettoriali (10), (12), risultano per le componenti della velocità e della accelerazione
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Ma dalle sei identità esprimenti che i vettori i, j, k , sono unitari e a due a due ortogonali:
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cosicché le λ, μ son definite dalle equazioni
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Se ne desume che le componenti cercate sono date dalle formule
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Dalle (21), (21') discendono immediatamente i risultati del n. 3. Invero in ogni istante in cui si annulli la velocità angolare O risulta dalle (21
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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ossia, sostituendo a le loro espressioni date dalle (21) stesse,
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Le due circonferenze dei flessi e di stazionarietà passano entrambe pel polo istantaneo Ω [come risulta dalle (26)] e pel centro delle accelerazioni
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date dalle
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Ma è facile trarne, con una lieve modificazione dalle ipotesi, un esempio di vincolo anolonomo non omogeneo.
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Dalla (29) e dalle (24) del n. 24 si ottengono allora facilmente le formule seguenti:
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questo caso dalle (15), dove per altro le δq h non sono più arbitrarie ed indipendenti, bensì legate fra loro dalle l' equazioni lineari omogenee
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Se poi il sistema è riferito a coordinate q h sovrabbondanti e le equazioni che legano fra loro codeste q h, sono date dalle
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Si ha dunque che i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali soltanto a partire dalle configurazioni di confine.
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cioè a quella stessa accelerazione che sarebbe dovuta all’unica forza F 1 + F 2, risultante dalle due forze fisicamente distinte F 1 ed F 2.
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Sempre nel caso di forze costanti, dalle identità evidenti
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le quali si deducono dalle equazioni stabilite al n. prec., sostituendovi al posto del simbolo m della massa la sua espressione (17).
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che sono il cosidetto allungamento della lamina e l’area di essa, si avrà, distinguendo dalle altre le variabili k e Θ che hanno dimensioni nulle:
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Il baricentro di masse situate sopra una medesima retta è interno al segmento determinato dalle due masse estreme.
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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Per ogni punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle masse potenzianti, le componenti dell’attrazione sono ancora (come nel caso di un
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dove le c designano costanti [definite dalle (23) in funzione dei giratori principali].
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col significato di ε e di γ, che risulta dalle (24).
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63. Dalle considerazioni precedenti risulta come si possano estendere alle funzioni vettoriali i risultati formali del Calcolo differenziale.
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Concludiamo, dunque, che pei solidi l'equilibrio è caratterizzato dalle due equazioni vettoriali (1), o dalle sei equazioni scalati equivalenti
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del n. 4, le condizioni di equilibrio si ricaveranno, esprimendo che è equivalente a zero il sistema costituito dalle forze attive F e dalle Φ.
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2° le 2n reazioni offerte dalle rotaie alle singole ruote;
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una generica asta AB dalle forze (applicate agli estremi)
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Riassumendo, dopo l’indicata riduzione, un nodo generico A risulta sollecitato dalle forze
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azioni interne sopportate dai singoli nodi e gli sforzi subiti dalle singole aste sono dati dalle (2*), (3*) e da equazioni analoghe.
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Portando nella seconda delle (13) i valori delle tangenti forniti dalle (12), otterremo
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attribuito alle Φ ) lo assicurano per tutte le possibili parti di filo, siano esse tratti rettilinei [contemplati dalle (4)] o elementi prossimi ai punti P
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Ciò posto, basta eliminare dalle (16') per mezzo di quest’ultima equazione per renderle atte a definire le
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7. Dalle relazioni (3) discendono le
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3.° che il valore numerico di a 0, in funzione di τ0, si ricava dalle due equazioni
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17. Dedurre dalle equazioni intrinseche di una verga piana (n. 46) tre conseguenze differenziali, che involgano ciascuna una soltanto delle quantità
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Insomma le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del sistema olonomo considerato sono date dalle n equazioni (12).
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In particolare, la sollecitazione si dirà puramente posizionale quando le F i dipendono esclusivamente dalla configurazione del sistema, cioè dalle
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Riassumendo, le derivate dei tre vettori fondamentali t, n, b sono fornite dalle formule seguenti:
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Ad ogni modo tutte le volte che le componenti lagrangiane ammettono un potenziale, si desume dalle condizioni di equilibrio (12) e dalle identità (14
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onde si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (15'), (16'), le F i definite dalle (19) soddisfano
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talché si ha una sola equazione del tipo B [n. 30, formule (15')] e, quindi, un solo vettore a, definito dalle componenti
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dove, ricordiamolo, ε, k sono definiti dalle (9), in funzione dei dati della questione, sotto la forma
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Una tale disuguaglianza è certo verificata dalle nostre T A e T B. Noi le abbiamo infatti determinate, combinando le due equazioni
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40. Dalle (20') si ha ancora, moltiplicando la prima per sinγ, la seconda per cosγ e sottraendo,
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come si rileva dalle (12), imponendo che per t = t0 debba essere x = x 0, y = y 0, z = zo.
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Accademia della crusca
