Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
che dà il rapporto incrementale della velocità ed ha le componenti
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onde risulta che le rispettive componenti secondo gli assi sono date da
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I due componenti spesso anche i due scalari diconsi accelerazione tangenziale e, rispettivamente, accelerazione normale o centripeta.
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che, integrate, danno per le componenti della velocità v le espressioni
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dove designano le componenti (arbitrarie) della velocità v o nell’istante t = 0 (velocità iniziale).
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onde la velocità avrà le componenti:
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Le componenti della velocità son date da
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e si riducono (proporzionalmente) al l a frazione e delle antiche. Ricordando le espressioni delle componenti della velocità e dell’accelerazione per
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La velocità v di P ha le componenti
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la quale risulta costante, talché il moto composto (60) è uniforme al pari dei componenti.
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L’accelerazione, che, trattandosi di moto uniforme, prevediamo riuscirà tutta centripeta (n. 26), ha le componenti
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i versori i e j avranno per le (13) le componenti
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che manifestamente coincidono colle componenti delle equazioni vettoriali (10), (12).
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e mentre il versore fondamentale k (diretto secondo l’asse positivo z = ζ) è costante e di componenti
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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24 . Applicando tali regole di calcolo, è facile esprimere le componenti L, M, N di un prodotto vettoriale v 1 Λ v 2 (rispetto ad una terna
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Ora la velocità v 0 di O ha per ipotesi rispetto ad Oxyx, le componenti u, v, w, che son date in termini di t. D’altra parte le sue componenti
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Se ne desume che le componenti cercate sono date dalle formule
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Se poi riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P, le
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dove son le componenti secondo gli assi fissi della velocità v 0 dell’origine mobile O.
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Si indichino con M x , My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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ossia è rappresentata dal vettore di componenti
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cioè il vettore che ha per componenti
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Se le componenti di una forza posizionale sono del tipo
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In un campo piano le componenti della forza son del tipo
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cosicché debbono equilibrarsi separatamente i componenti normali e i componenti tangenziali di R, ed F, e, in particolare, debbono coincidere le
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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L’osservazione precedente mostra inoltre che le componenti del derivato é di un vettore v sono date dalle derivate delle componenti di v: e così le
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cioè i rapporti incrementali delle componenti; onde risulta che l’esistenza del derivato (t) implica l’esistenza delle derivate delle componenti e
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Il rapporto incrementale di v ha per componenti
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E la formula corrispondente (che si può anche stabilite, applicando lo sviluppo di Taylor alle componenti)
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La verifica è, in ogni caso, immediata; per la prima e terza formula basta riferirsi alle componenti e riconoscere (numeri 15, 24) che le componenti
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67 . Circa l’esistenza e la rappresentazione delle componenti del vettore derivato valgono considerazioni identiche a quelle svolte al n. 61 per il
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ossia le componenti del vettore ΔP, quelle del rapporto incrementale sono date da
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componenti verticali degli sforzi. Basta osservare che, avendo essi ordinatamente per linee d’azione P 1 P 2, P 2 P 3,…., P n-1 P n, i rapporti (certamente
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21. Per scindere l'equazione vettoriale (16) nelle sue componenti secondo gli assi, ricordiamo che la tensione T è un vettore tangenziale alla
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27. Per indicare altre notevoli analogie fra le componenti lagrangiane Q h della sollecitazione e le componenti cartesiane X i, Y i, Z i, precisiamo
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Possiamo perciò dire che anche le componenti lagrangiane derivano da un potenziale.
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che mettono in luce, per ogni singola reazione, una decomposizione nella somma di r + s componenti.
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Dopo questi richiami, che torneranno utili nel seguito, riprendiamo il vettore v di componenti X, Y, Z rispetto alla terna O xyz e indichiamone con Ξ
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Se ricordiamo che le componenti di un vettore unitario non sono altro che i coseni direttori della rispettiva direzione orientata, possiamo dire che
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La (1) o, indifferentemente, le sue componenti (2) diconsi equazioni (finite) del moto del punto P.
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di componenti
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e le relative componenti cartesiane
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applicato in P(t) e avente le componenti:
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della traiettoria e per componenti gli scalati
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In linguaggio cartesiano ciò si può esprimere dicendo che tanto vale calcolar prima le componenti della velocità vettoriale rispetto ad Oxyz e poi
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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